考点55圆锥曲线中范围与最值问题（2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）解析版.docx

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考点55圆锥曲线中范围与最值问题

（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【核心题型】

题型一范围问题

圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

【例题1】（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对称性和椭圆定义得到，从而表达出，并计算出，从而得到最值，求出答案.

【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中，

故，

不妨设，，，

则，

故当时，取得最小值，最小值为4，

当时，取得最大值，最大值为64，

故，

故当时，取得最小值，最小值为51，

当时，取得最大值，最大值为，

故的取值范围是.

故选：C

【变式1】（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】借助焦半径公式计算可得，结合外接圆的定义即可求得该外接圆方程，借助切线性质可得点的坐标，设出点坐标，借助坐标表示出，结合辅助角公式计算即可得解.

【详解】由，可得，故，则F0,1，

令，则，即，分别为，

令圆心坐标为0,m，则有，解得，

故圆的半径为，即圆的方程为，

设，，则有，

化简得，即，则，

由圆的对称性，不妨设在第一象限，即，

设，，

则

，

其中，由，故，

故.

故选：B.

??

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角函数设出、的坐标，从而只用一个变量表示该点，用角表示出后，结合辅助角公式计算即可得

【变式2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是．

【答案】

【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，转化为渐近线的斜率大于或等于，即可求解.

【详解】由任意点线段上，端点除外，在上存在关于轴对称得两点使得为等边三角形，

即存在点使得，所以存在点使得，

由双曲线的其中一条渐近线方程为，

则满足的斜率大于或等于，即，所以，

又由，所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知斜率为1的直线与抛物线交于点，以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称．

(1)求抛物线与圆的方程；

(2)过轴上的点作斜率为1的直线，交圆于点，且与交于不同的两点，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系得的值，即得抛物线方程，利用弦长公式求直径，即可得到圆的方程.

（2）设，根据直线与圆、抛物线的位置关系求的范围，利用切割线定理求的范围.

【详解】（1）

??

∵以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称，

∴线段为圆的直径，点为线段的中点．

由题意知直线的斜率为1且过点，

∴直线的方程为，即.

由得,

设Ax1,y1，B

∴，∴，

故抛物线的方程为．

此时，

∴，

∴圆的半径为，故圆的方程为．

（2）??

设，则直线的方程为，即,

∵直线与圆有两个交点，

∴点到直线的距离，解得．

由，得，

∵直线与抛物线有两个公共点，

∴，解得，

∴．

∵，∴点在圆外.

过点作圆的切线，设切点为，连接，，

由切割线定理得，，

由相切得，故．

∵，∴，

∴，

∴的取值范围是．

题型二最值问题

圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

【例题2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】由题意当为通径时，即垂直轴时，其长度最小，由此即可得解．

【详解】要使最小，即为和焦点在的轴垂直的直线截得的线段长．

右焦点为，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为，

故最小值为1．

故选：B．

【变式1】（2024·河南濮阳·模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的