考点59用样本估计总体（3种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）解析版.docx

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考点59用样本估计总体

（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．

【知识点】

1．百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2．平均数、中位数和众数

(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

3.标准差与方差

如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差：

知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;

(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.

4.平均数，方差的线性关系：

数据

平均数

方差

，，，

，，，

，，，

，，，

常用结论

1．若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\x\to(x)＋a.

2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

【核心题型】

题型一样本的数字特征和百分位数的估计

计算一组n个数据第p百分位数的步骤

【例题1】（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（????）

A．16 B．19 C．20 D．22

【答案】C

【分析】利用百分位数的定义进行求解.

【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.

故选：C.

【变式1】（2024·浙江绍兴·三模）有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（????）

A．第75百分位数 B．平均数 C．极差 D．众数

【答案】A

【分析】分别求出该组数据的第75百分位数、平均数、极差、众数，比较大小，即可得到答案.

【详解】计算第75百分位数：，则取第8位数据，

即该组数据的第75百分位数为5；

平均数为；

极差为；

众数为3.

综上，第75百分位数最大.

故选：A.

【变式2】（2024·上海宝山·一模）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为.

【答案】/

【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可.

【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，，

共个数，则，

所以这组数据的第百分位数为.

故答案为：.

【变式3】（2024·上海徐汇·一模）某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是.

【答案】51

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】因为，

所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第个数，即为.

故答案为：.

题型二总体集中趋势的估计

频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．

【例题2】（2023·四川宜宾·二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：

??

(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；

(2)现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.

【答案】(1)0.79；众数为20

(2)

【分析】（1）根据频率直方图中的数据即可统计求