考点60一元线性回归及其模型（3种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破（新高考版）原卷版.docx

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考点60一元线性回归及其模型（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

【知识点】

1.变量的相关关系

相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度

正相关与负相关

如果从整体上看，

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关；

当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关

线性相关

如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关

非线性相关

如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关

2.样本相关系数

①样本相关系数r的计算公式：.

②样本相关系数r的性质：

当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关

|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱.

通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系

3.一元线性回归模型

①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．

若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，.

其中，称为样本点的中心．

②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量

4.判断回归模型的拟合效果

方法

决定系数法

残差图

残差平方和

公式

称为相应于点的残差，

刻画效果

越接近于1，表示回归的效果越好

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高.

残差平方和越小，模型的拟合效果越好

常用结论

1．经验回归直线过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．

2．求eq\o(b,\s\up6(^))时，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).

3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．

【核心题型】

题型一成对数据的相关性

判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．

(2)样本相关系数：当r0时，正相关；当r0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．

(3)经验回归方程：当eq\o(b,\s\up6(^))0时，正相关；当b＜0时，负相关

【例题1】（2024·江西南昌·三模）如图对两组数据，和，分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是和，并对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，则下列判断正确的是（???）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·上海·三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（????）．

A． B． C． D．

【变式2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则（????）

A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关

C．与负相关，与正相关 D．与正相关，与负相关

【变式3】（2024·四川成都·二模）对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（????）

A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且

C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且

题型二回归模型

求经验回归方程的步骤

命题点1一元线性回归模型

【例题2】（2023·河南·一模）已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（????）

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

A． B．

C． D．

【变式1】（2024·江西·一模）已知变量y与x线性相关，由样本点求得的回归方程为，若点在回归直线上，且，，则．

【变式2】（2023·四川绵阳·三模）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量(千克)之间的对应数据的散点图如图所示．

??

(1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合与的关系，请计算样本相关系数并判断它