培优点01切线放缩（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）(原卷版).docx

PAGE

PAGE1

培优点01切线放缩（2大考点+强化训练）

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1

题型01单切线放缩 1

题型02双切线放缩 11

【考情分析】

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果．

【核心题型】

考点一：单切线放缩

常见的切线放缩：?x∈R都有ex≥x＋1.当x－1时，ln(x＋1)≤x.当x0时，xsinx；当x0时，xsinx.

规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.

【例题1】（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数，.

(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；

(2)当时，若，且，求证：；

(3)求证：对任意，都有.

【变式1】（2024·上海松江·二模）已知函数（为常数），记.

(1)若函数在处的切线过原点，求实数的值；

(2)对于正实数，求证：；

(3)当时，求证：.

【变式2】（2022·贵州安顺·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的导函数的单调性；

(2)若，求证：对，恒成立．

【变式3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明：；

(3)证明：．

考点二：双切线放缩

规律方法含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明．

【例题2】（2023·河北衡水·一模）已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)若在定义域上有两解，求证：

①；

②.

【变式1】（21-22高三上·山东·期中）已知函数.

(1)函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：

(2)求证：当时，；

(3)若有两个不同的零点，求证：.

【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知曲线在点处的切线为．

(1)求直线的方程；

(2)证明：除点外，曲线在直线的下方；

(3)设，求证：．

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)对任意恒成立，求的取值范围；

(2)有两个解，，求证：．

【强化训练】

一、解答题

1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：在上恒成立；

(3)求证：当时，．

2．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，且.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）求证：.

3．（20-21高三下·浙江台州·阶段练习）已知函数

（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（2）已知函数有3个不同的零点.

（i）求的取值范围；

（ii）求证：.

4．（2022·浙江·模拟预测）已知函数.

(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；

(2)求证：；

(3)设函数的两个零点、，求证：.

5．（2024·全国·一模）已知

(1)若，求实数的取值范围；

(2)设是的两个零点（），求证：①；②.

6．（2022·四川泸州·模拟预测）已知函数（其中e为自然对数的底数，…）．

(1)若恒成立，求实数a的值；

(2)若，求证：．

7．（2022·天津和平·一模）已知函数，gx=

(1)当时，求函数在点处的切线；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：时，.

8．（2023·河北·模拟预测）已知函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)当时，记函数的两个零点为，求证：．