线性系统的能控性与能观测性.ppt

进一步可导出：基于此，定义相应的基组为：基于此，定义相应的基组为：*表示：依此类推，直到：*基于此，定义相应的基组为：在各基组的基础上，得到非奇异变换阵：结论：对完全能控的多输入-多输出线性定常系统，引入非奇异变换，可导出其旺纳姆能控规范形为：旺纳姆能观规范形结论：对完全能观的多输入-多输出线性定常系统，利用对偶性原理，则可导出其旺纳姆能观规范形为：能观测性指数对线性定常系统，定义kq×n矩阵：能观性指数：矩阵的秩随着k单调增加，直至k=ν。在kν时，的秩不再增加，即称ν为线性定常系统的能观测性指数。定理：能观测性指数满足1其中，为矩阵A的最小多项式次数，，n为系统的阶次。2定理：线性定常系统完全能观的充要条件是：定理：线性定常系统的能控性指数和能观测性指数在状态的非奇异变换下保持不变。格拉姆矩阵判据线性时变系统在时刻为完全能观的充要条件是，存在一个有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。线性时变系统的能观测性判据2秩判据*线性时变系统在时刻为完全能观的充分条件是，存在一个有限时刻，使下式成立能控性能观性意义输入状态控制状态输出估计代数判据rank[BAB…An-1B]=nrank[C?A?C?…(A?)n-1C?]=n模态判据1同一特征值的约旦块对应B的分块的最后一行是否相关同一特征值的约旦块对应C的分块的第一列是否相关rank[?I-AB]=n??rank[?I-A?C?]=n??模态判据2从前面的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表:4.4对偶性一对偶系统*01020304考虑线性时变系统式中：ψ-n维行向量，协态；φ-输出，p维行向量；η-输入，q维行向量。05线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：显然,若系统?(A,B,C)是一个p维输入,q维输出的n阶系统,则其对偶系统是一个q维输入,p维输出的n阶系统。06下图是对偶系统?和的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意味着输入端与输出端互换;信号传递方向的相反;信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。对偶原理01对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：01线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。01补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a，b，c取值范围ac≠0,b任意a,b,c为任何值都不能控例:已知系统的传递函数为*设系统状态完全可控且完全可观,试求a的范围。1解：可控标准型实现，检查可观性：2解01答案：只需a1≠1、a2≠2和a3≠4。得a1=1；a2=2；a3=4；02一单变量系统的能控能观规范形*能控规范形和能观测规范形非奇异线性变换的不变特性系统经过非奇异线性变换后，不会改变系统原有特性(包括系统特征值、传递函数矩阵、可控性、可观性、能控性指数和能观性指数等)，这就是所谓的非奇异线性变换的不变特性。对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式1则称此状态空间描述为可控规范形。2能控规范形3设系统的特征多项式为*结论：对于完全能控的单输入—单输出系统引入非奇异线性变换阵P-1：12作变换，即可导出可控标准型为：*式中：其中：1）系统完全可控，必有*证明：01所以向量是线性无关的。02取变换矩阵为03式中：，有04所以：*也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到由于S和Λ都是线性无关的，显然向量书写成矩阵形式为：*所以：记变换矩阵P的行向量为pi，因PQ=I，即故：对于向量，由计算得能观测规范形对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式