2025高考数学二轮复习-专题突破练15 随机变量及其分布【课件】.pptx

2025

专题突破练15随机变量及其分布

一、选择题

1.已知随机变量X~B(4,p),其中0p1,若则P(X=3)=(D)

BC.口

解析因为X~B(4,p),所以,得又0p1,所

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A

若E(X)=7.5,则下列结论正确的是(BCD)

A.a=7.5IB.b=0.4C.E(aX)=52.5D.E(X+b)=7.9

解析由分布列的性质，可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,B正确；因为E(X)=4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7,A错误；

由均值的性质得E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,C正确；

E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,D正确.故选BCD.

X

4

a

9

10

P

0.3

0.1

b

0.2

二、选择题

2.已知随机变量X的分布列为

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三、填空题

3.(2024.广东佛山模拟)已知随机变量X~N(10,9),随机变量Y=2X-3,则

E(Y)=17,D(Y)=36__

解析因为X~N(10,9),

所以E(X)=10,D(X)=9,

又Y=2X-3,所以E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×10-3=17,

D(Y)=D(2X-3)=2²D(X)=4×9=36.

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·

四、解答题

4.(15分)(2024·福建福州模拟)为激励学生积极0.045-

参加身体锻炼，加强学生体质健康管理工作，某

市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并

从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的

健康指数x绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这500名学生健康指数x的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(μ,o²),其中μ近似为样本平均数x,o²近似为样本方差s²(s²=84.75).

①求P(60.29≤X≤87.92);

②已知该市约有30000名高三学生，记健康指数在区间[60.29,87.92]的人数为ξ,试求

E(S.

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参考数据：√84.75≈9.21;若随机变量X服从正态分布N(μ,o²),则

P(μ-o≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2o)≈0.9545,P(u-3o≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

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解(1)由题意得，平均数

x=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5.

(2)①由(1)可知μ=x=69.5,o=√84.75≈9.21,

则X近似服从正态分布N(69.5,9.21²),

则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(u-o≤X≤μ+2σ)

②由①可知，学生的健康指数位于[60.29,87.92]的概率为0.8186,依题意，ξ服从二项分布，ξ~B(30000,0.8186),

则E(S)=np=30000×0.8186=24558.

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5.(15分)(2024·广东茂名一模)近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展

的阶段，技术水平显著提升，产业体系日趋完善，企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对采购的一批汽车零部件进行质量检测.

(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个是合格品的概率；

(2)若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格.现从中任取2个，用X表示其中不合格零部件的个数，求X的分布列和数学期望.

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解(1)记“3个零部件中至少有1个是合格品”为事件则

P(A)=1-P(A)=1-(1-0.9)³=0.999.

(2)由题意可知，随机变量X服从超几何分布，且N=20,M=4,n=2.

X

0

1

2

P

32

95

3

95

X的分布列为

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6.(15分)(2024·河北衡水模拟)中医药学是中国