2025高考数学二轮复习-专题突破练19 空间角、空间距离【课件】.pptx

2025

专题突破练19空间角、空间距离

解答题

1.(15分)(2024.上海，17)如图为正四棱锥P-ABCD,O为底面ABCD的中心.

(1)若AP=5,AD=3√2,求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.

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解(1)因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面

ABCD,

因为AD=3√2,所以AO=OD=OB=OC=3,

因为AP=5,所以

所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，

所以V圆

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P-ABCD是正四棱锥，

所以该四棱锥各棱长相等，设AB=√2a,则

AO=OD=OB=OC=a,PO=√AP2-AO²=a,

由此可得0(0,0,0),P(0,0,a),A(0,-a,0),B(a,0,0),

(2)(方法一坐标法)如图，建立空间直角坐标系，因为AP=AD,由题意知

C(0,a,0),D(-a,0,0)

234

设直线BD与平面AEC所成角为θ,

=0,取x₁==1,则z₁=-1,所以n=(1,0,-1),则

设n=(x₁,y₁,Z1)为平面AEC的法向量，

所以

1234

由得

在△EOH中，因为,所以

故直线BD与平面AEC所成角为

(方法二几何法)过点E作EH⊥BD交BD于点H.

则EA=EC,EO⊥AC.

故∠EOH就是直线BD与平面AEC所成角.

P

D

O

C

设AP=AD=a,则BD=√2a,故

E

B

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2.(15分)如图，在四面体ABCD中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角

形，△ABD为等边三角形，且AC⊥BD.

(1)求直线AD与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角A-BD-C的余弦值.

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解(1)由△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，得AC⊥AB.

又AC⊥BD,且BDNAB=B,BD,ABC平面ABD,则AC⊥平面ABD.因为ACc平面ABC,

故平面ABC⊥平面ABD.

取AB的中点0,连接DO.

由△ABD是等边三角形，得DO⊥AB,而DOc平面ABD,

平面ABDN平面ABC=AB,则DO⊥平面ABC.

过点O作直线AC的平行线，交BC于点E.易知，OA,OE,OD两两垂直.

以O为原点，OA,OE,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

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令AB=2,则A(1,0,0),B(-1,0,0),C(1,2,0),D(0,0,√3),AD=(-1,0,√3),BC=(2,2,0),

所以直线AD与BC所成角的余弦值为

(2)由(1)知，AC=(0,2,0)为平面ABD的一个法向量.

又BD=(1,0,√3),设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则

取z=1,则x=-√3,y=√3,得n=(-√3,√3,1),于是cos

,显然二面角A-BD-C为锐角，所以二面角A-BD-C的余弦值为

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3.(15分)(2023·新高考I,18)如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,

AA₁=4.点A₂,B₂,C₂,D₂分别在棱AA₁,BB₁,CC₁,DD₁上，AA₂=1,BB₂=DD₂=2,

(2)点P在棱BB₁上，当二面角P-A₂C₂-D₂为150°时，求B₂P.

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CC₂=3.

(1)证明：B₂C₂//A₂D₂;

C

D

AP

B₁

标系.

由题意可得A₂(2,2,1),B₂(0,2,2),C₂(0,0,3),D₂(2,0,2).

B₂C2=(0,-2,1),A₂D₂=(0,-2,1),

所以B₂C2=A₂D₂.

因为A₂,B₂,C₂,D₂四点不共线，

故B₂C₂//A₂D₂.

(1)证明(方法一)在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以点C为坐标原点，

CD,CB,CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如右图所示的空间直角坐

ZA

C₁

D₁C2,

D₂

CD

Ax

B₁

A

B₂

A₂By

A

12③4

P

(方法二几何法)设棱DD₁上的点N满足DN=AA₂=1,C₁B₁

取CC₁的中点M,连接A