数学分析课件平面点集与多元函数.ppt

******************************************************************图16–8D2如上法分成四个更小的正方形,其中又至少有一个小闭正方形含有E的无限多个点.如此下去,得到一个闭正方形序列：很显然,{Dn}的边长随着而趋于零.于是由闭域套定理,存在一点第31页,共48页，星期六，2024年，5月最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道含有E的无限多个点,这就证得了M0是E的聚点.推论任一有界无限点列必存在收敛子定理16.4(有限覆盖定理)设为一有界闭域,为一族开域,它覆盖了D中必存在有限个开域它们同样覆盖了D,即(证明可仿照R中的相应命题去进行.)列第32页,共48页，星期六，2024年，5月本定理的证明与R中的有限覆盖定理(定理7.3)相仿,在此从略.注将本定理中的D改设为有界闭集,而将改设为一族开集,此时定理结论依然成立.例7设试证E为有界闭集的充要条件是:E的任一无穷子集Eq必有聚点,且聚点恒属第33页,共48页，星期六，2024年，5月证(必要性)E有界有界,由聚点定理,必有聚点.又因的聚点亦为E的聚点,而E是闭集,所以该聚点必属于E．(充分性)先证E为有界集.倘若E为无界集,则存在各项互异的点列易见这个子集无聚点,这与已知条件相矛盾.再证E为闭集.为此设P0为E的任一聚点,由聚点的等价定义,存在各项互异的点列使第34页,共48页，星期六，2024年，5月现把看作,由条件的聚点(即)必属于E,所以E为闭集.三、二元函数※函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.第35页,共48页，星期六，2024年，5月定义2设平面点集,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射),记作也记作或点函数形式第36页,共48页，星期六，2024年，5月与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称为f在点P的函数值;全体函数值的集合为f的值域,记作.通常把P的坐标x与y称为f的自变量,而把z称为因变量.当把和它所对应的一起组成三维数组(x,y,z)时,三维点集便是二元函数f的图象.通常该图象是一空间曲第37页,共48页，星期六，2024年，5月面,f的定义域D是该曲面在xOy平面上的投影.例8函数的图象是R3中的一个平面,其定义域是R2,值域是R.例9的定义域是xOy平面上的单位圆域,值域为区间[0,1],它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分(图16–9).例10是定义在R2上的函数,它的图象是过原点的双曲抛物面(图16–10).第38页,共48页，星期六，2024年，5月图16–9图16–