重积分的概念及计算.ppt

上页下页铃结束返回首页其中表示小区域的体积?以及中间点的任意取法，积分和的极限定义设f(x?y?z)是空间有界闭区域?上有定义?将?任意分割成n个互不重叠的小区域在上任取一点作积分和若对区域的任意一种分割法总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，记作或7-3三重积分的概念与计算当极限存在时,称在区域?上可积.三重积分中的各部分的名称????————积分号??————积分区域?f(x?y?z)——被积函数?f(x?y?z)dv—被积表达式?dv————体积元素?x?y?z———积分变量?有界闭区域?上的连续函数或分块连续函数在?上是可积的.若一物体占有空间位置?，又其体密度为则该物体的质量为当f(x,y,z)=1,V表示?的体积，则1?在直角坐标下的计算穿出点（１）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是曲面及在上连续其中在上连续则穿入点穿入点的竖坐标：穿出点的竖坐标：先将x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z的函数，在上积分，其结果是x,y的函数，记为然后计算F(x,y)在D上的二重积分于是有公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分或累次积分.穿入点补例计算三重积分其中?为三个坐标所围成的闭区域.解面及平面例1求三重积分解D（2）先二重积分后定积分的方法一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分?设积分区域为??{(x?y?z)|(x?y)?Dz?a?z?b}?其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域?所得到的一个平面闭区域?则即所谓的“先二后一”法.说明：例2求三重积分解即DO判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如z轴）的平面去截区域得截面面积是该坐标轴（如z轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变量（如z）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如z）的函数，则有同理得:同理得:同理得:例3求三重积分解于是同理故2?在柱坐标下的计算公式空间点的柱面坐标设M(x?y?z)为空间内一点?并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P(r??)?则这样的三个数r、?、z就叫做点M的柱面坐标?这里规定?、?、z的变化范围为?0?r???0???2????z???直角坐标与柱面坐标的关系x?rcos??y?rsin??z?z?坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示,在柱面坐标系中体积元素为三重积分在柱面坐标下的计算公式是(1)是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标区域为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为则例4求三重积分解例5求三重积分解解所求体积为例6设是(y,z)坐标平面上的圆盘绕z轴旋转一周得到的区域，试求体积V.3?在球坐标下的计算公式设P(x?y?z)为空间内一点?P到原点的距离计作，向径与Z轴正向的夹角计作(),P在Oxy平面上的投影点的极角计作(),则数组()与点P有一一对应关系，称()为点P的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回