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2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》

微专题十一数学问题中圆的寻觅

[解题技法]

众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵．当

我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，

常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷．本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分

三个方面予以概述．

一、寻觅几何圆

所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题．

例1在锐角△ABC中，A＝45°，若a＝2，求bc的取值范围．

以下是本题的常见解法：

解因为B＋C＝180°－A＝135°，0°B90°，0°C90°，所以45°C90°.

又由余弦定理得b＝2sinB，c＝2sinC，

所以bc＝2sin(135°－C)·2sinC＝2sin(2C－45°)＋2.

2

因为45°2C－45°135°，所以sin(2C－45°)≤1，

2

所以bc∈(22，2＋2]．

上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”，则可画出△ABC的外接圆O，如图1，设BM，

CN为圆O的直径．因为A＝45°，BC＝2，由圆的几何性质可知，当点A在劣弧MN(不含

端点)上运动时，△ABC即为锐角三角形，此时，△ABC的面积S满足SMBCS≤SDBC(D为

△△

劣弧MN的中点)，即

111

MBMC··sinMbcsinA≤DB2·sinD，

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所以bc∈(MBMC·，DB2]．

2

易求得MBMC·＝22，DB＝2＋2，

所以bc∈(22，2＋2]．

这种解法，直观简洁，避免了繁冗的三角变换过程．

sin∠ABD

例2在△ABC中，sin(A－B)＝sinC－sinB，D是BC的一个三分点(靠近点B)，记

sin∠BAD

＝λ，则当λ取最大值时，求tan∠ACD的值．

这是一道有一定难度的综合问题．假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易．下

面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法．

1

解由sin(A－B)＝sinC－sinB＝sin(A＋B)－sinB可得2cosAsinB＝sinB，所以cosA＝，