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§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比再考虑一般情形，即允许出现空盒，如果我们把小球数目再增加k个，总共n+k个，这样可按不允许出现空盒的情形来考虑(即将增加的k个球每个盒子放一个)，这样就有种不同的放法，然后再从已放好小球的k个盒子中分别取出一个小球，这样就可能出现空盒子，所以，合乎要求的放法就有第133页,共146页，星期六，2024年，5月§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比这个问题可类比到许多不同形式的问题上去，例如：（1）试问不定方程共有多少组不同的正整数解？非负整数解又有多少组？对于这个问题的前一问，我们可以设想与例题中不允许出现空盒的情形类比，由此可知有组不同的正整数解。对于后一问，可以与例题中允许出现空盒的情形类比，由此可知，共有组不同的非负整数解。第134页,共146页，星期六，2024年，5月§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比（2）在围棋擂台赛中，甲、乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场比赛，双方由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，则另一方获得胜利，形成一种比赛过程。试求所有可能出现的比赛过程的种数。这个问题也可与例题6类比，但这里是解法的类比，我们可以把负方的队员比作小球，因它们的顺序已排好，所以也可看成无区别的小球，胜方队员比作隔板。第135页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
现在我们来证明这个猜想，首先把1991表成若干个正整数的和，欲使其积最大，这些加数均不超过4，否则，不妨假设存在一加数为x,x＞4，那么，x可表为2+（x-2），但2(x-2)=2x-4=x+(x-4)＞x这就使得其积增大。其次，我们可把4表成两个2的积，且应把3个2的和表为2个3的和，即加数中2的个数不宜超过2个。第101页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
因此，应把1991表为663个3与2个2的积，因此所求积的最大值为。上述的结论可推广到任意大于1的自然数N.即当时，N可表示为k个3的和，其所有加数的积最大，此积为3k；当N=3k+1时，N可表为k-1个3与2个2的和，其所有加数的积最大，此积为；当N=3k+2时，N可表为k个3与1个2的积，其所有加数的积最大，所求的积的最大值为。第102页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
在数学教学中，我们也可以像数学研究一样，引导学生运用归纳等方法，通过猜想去发现新的命题，当然这个命题是有待于证明。例3、试由下面一组等式出发，推测并证明一个定理：32+42=52；102+112+122=132+142；212+222+232+242=252+262+272；362+372+382+392+402=412+422+432+442；…………第103页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
分析：通过观察所给等式结构上的特点，欲要找出奇数个连续自然数平方和的性质，其关键就在于找到各等式左端的首项构成的数列的性质。我们不难发现：这些等式左端的首项构成一个二阶等差数列：即第104页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
根据所给的一组等式（不妨再可验证n=5时的等式），猜想：第105页,共146页，星期六，2024年，5月§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比第106页,共146页，星期六，2024年，5月§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比第107页,共146页，星期六，2024年，5月
§2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比
类比是指在两类不同的对象之间，由它们的某些相似的属性推出另外的属性也相似的推理，类比方法是由此及彼的过程，是由个别到
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