人教A版（2019）高中数学必修第二册-小结（3）综合问题_课后练习.docx

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小结（3）综合问题

学生自主学习检测

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F．

FEDC求证：AB∥EF

F

E

D

C

A B

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．

求证：DE∥平面ABC；

求三棱锥E－BCD的体积．

答案与提示

1．证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．

又因为AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD．

又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEF平面PCD?EF，所以AB∥EF．

2．(1)证明如图，取BC中点G，

连接AG，EG.

因为E是B1C的中点，

所以EG∥BB1，且EG＝1 1

BB.2

由直棱柱知，AA1∥BB1，而D是AA1的中点，所以EG∥AD，

所以四边形EGAD是平行四边形．所以ED∥AG.

又DE?平面ABC，AG?平面ABC，

所以DE∥平面ABC.

(2)解因为AD∥EG，所以AD∥平面BCE，

所以VE－BCD＝VD－BEC＝VA－BCE＝VE－ABC，

由(1)知，DE∥平面ABC.

所以VE

－ABC＝VD

－

ABC＝1 1

－AD·

－

AD·BC·AG

＝1×3×6×4＝12.

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