均匀化理论和多尺度方法.pptVIP

高等复合材料力学

北京航堂航天大学

AdvancedMechamicsofComnpositematerials

第六章

均匀化理论和多尺度方法

陈玉丽航空科学与工程学院

6.1引言

在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时,由于热

载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面,所以研究采用的细观力学模

型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来

单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从而

可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排

列的单胞,与复合材料的宏观尺寸相比,它的不均匀性是很小的,此种

类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料(第三章)。但是

单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效,

然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构,宏观结构上不同

的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件下非线

性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题,单胞模型应

该包含大的区域,采用大的模型。

6.1引言

20世纪70年代,学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学

方法,Benssousan和Sanchez-Palencia等称之为均匀化理论。这种方法用

于分析具有两个或者多个尺度的物质系统,它可以把含有第二相空间的

细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来

通过对位移和应力场进行渐进展开以及适当的变分原理,均匀化方

法不仅可以求出等效的(均匀化)材料常数,而且可以得到两个尺度上

的应力和应变分布。相对于单胞法,这种方法的优点在于不必作全局的

周期性假设,在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而,这种分

析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设。

Toledano和Murakami,Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地把有限

元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这些

研究当中,通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局的

响应,同时借助局部应力和应变场的描述得到了微结构的行为

6.2多尺度模型

it

具有周期性结构的复合材料弹性体Ω,受体力,边界I

上受表面力,边界r上给定位移边界条件。宏观某点x处的细

观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成

单胞的尺度y相对于宏观几何尺度为小量。

6.2多尺度模型

宏观尺度

微观尺度:

01234

y=x/0E1

例如:宏观尺度为m,微观尺度为nm,E=109

实际为1m的尺寸,即x=1(m),在微观尺度下y=x/e=109(mm

实际为1nm的尺寸,即y=1(nm),在宏观尺度下x=y=109(m

6.2多尺度模型

对于非均匀的复合材料,当宏观结构受外部作用时,位移

和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细

观结构的高度非均匀性,使得这些结构场变量在宏观位置x非

常小的邻域e内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于

宏观与细观两种尺度,即

Φ(x)=①(x,y),y

=r/a

上标E表示该函数具有两尺度的特征

Y-周期性:微观单胞的周期为Y

Φ(x,y)=④(xy+Y)

6.2多尺度模型

在Ω中,弹性张量E和柔度张量S分别为

=En(x,y)inS

Si(x)=Si,(,y)inS2

假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程,有

f

au.au

其中‘=u(x,y)是细观坐标系y中的具有Y-周期的位移场

同时,在给定力边界和给定位移边界分别满足

oin,=t,onT

u=uont

均匀化方法

1)渐进展开法(Asymptoticexpansion)

2)泰勒级数近似法(TaylorSeriesApproximation)

3)以傅里叶变换为基础的多尺度方法

6.3渐进展开法Asymptoticexpansion

在均匀化理论中,Y-周期位移场可以近似为宏观坐标x的展开式

渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中,其展开形式为

n(x)=n(x,y)+al(x,y)+enl(x,y)+…,y=2

注意到任意一个赖于两个尺度的函数Φ对宏观坐标x的偏微分为

x

ac1a

应变张量c=

-ex(x,y)+eg(x,y)+sel(x,y)+ee(x,y)+

6.3渐进展开法

2(x,y)+e(x,y)+a2(x,y)+e2(x,y)+

代入本构方程,可得应力场的渐进展开式

osLO(x,y)+oR(x,y)+Eok(x,y)+EaR(,y)+

其中

d=E(x,y),n=-102

将应力的渐进展开式代入平衡方程,有

o}(x,y)1o(x,y)a(x,y)10(x,y

ay

on(x,y),1a07(x,y)0(x,y),1a0(x,y)

f=0