《垂径定理》人教版九年级数学(下册).pptxVIP

第三章圆

垂径定理

M

C

A

●0

D

AB

N

学习目标

1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)

3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点)

导入新课

情境引入

问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的。半径吗?

讲授新课

垂径定理及其推论

问题：如图，AB是⊙0的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为P.你能发现图中：

有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段：AP=BPC

弧：ACBC,AD=BD^

理由如下：只

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，

点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD

重合.

P

D

B

A

已知：在⊙0中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD,

AP=BP,AC=BC,AD=BD.

证明：连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.

∵AB⊥CD,∴AP=BP,∠AOC=∠BOC.

从而∠AOD=∠BOD.

∴AD=BD,AC=BC.

想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论?

试一试

D

O

A尺B

垂足为P.求证：

归纳总结

◆垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

◆推导格式：

∵CD是直径，CD⊥AB,(条件)

∴AP=BP,AC=BC,AD=BD.(结论)

想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是，请说明为什

么?

D

是不是，因为没有垂直

是不是，因为CD没有过圆心

归纳总结

垂径定理的几个基本图形：

DE

思考探索

如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗?

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?

举例证明其中一种组合方法

已知：

求证：

D

②CD⊥AB,垂足为E

④AC≥BC^⑤AD=BD

证明猜想

①CD是直径

③AE=BE

证明举例

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使AE=BE.

(1)CD⊥AB吗?为什么?

(2)AC与BC相等吗?AD与BD相等吗?为什么?

思考：“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能，请举出反例.

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

归纳总结

◆垂径定理的推论

(1)一条直线过圆心

(2)这条直线垂直于弦

(3)这条直线平分不是直径的弦

(4)这条直线平分不是直径的弦所对的优弧

(5)这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧

满足其中任两条，必定同时满足另三条

垂径定理的本质是：

典例精析

例1如图，OE⊥AB于E,若⊙0的半径为10cm,

OE=6cm,则AB=crh6

解析：连接OA,∵OE⊥AB,

∴AE=√OA²-OE²

=√10²-6²=8cm.

∴AB=2AE=16cm.

EB

0

垂径定理及其推论的计算

A

例2如图，◎0的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC-2cm,水

径OC的长.

解：连接OA,∵CE⊥AB于D,

设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理

,得

x²=4²+(x-2)²,

例3:已知：⊙0中弦AB//CD,

求证：AC=BD.

证明：作直径MN⊥AB.

∵AB//CD,∴MN⊥CD.

则AM=BM,CM=DM

(垂直弦的直径平分弦所对的弧)

AM-CM=BM-DM

M

C

A

0

N

然

D

B

三垂径定理的实际应用

试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB

所在圆的圆心为0,半径为R.