2025高考数学考二轮专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题突破练16

立体几何中的翻折问题及探索性问题-专项训练

1.如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,沿BD将△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.

(1)求证:PD⊥CD;

(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60°,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E为线段PC上一点.

(1)设平面PAB∩平面PDC=l,求证:l∥平面ABCD.

(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°?若存在,求CECP的值;若不存在,请说明理由

3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,BC=22,BB1=2,M为CC1的中点.

(1)试确定线段AB1上一点N,使AC∥平面BMN;

(2)在(1)的条件下,若平面ABC⊥平面BB1C1C,∠ABB1=60°,求平面BMN与平面BB1C1C的夹角的余弦值。

4.(2024·广西名校模拟)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC=22.点E为CD的中点,现将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,得到四棱锥D-ABCE如图2所示,点P为棱DB上一点.

图1

图2

(1)证明:AD⊥BE.

(2)是否存在点P,使得直线EP与平面BCD所成角的正弦值为3311?若存在,求DP∶DB的值;若不存在,请说明理由

5.(2024·新高考Ⅱ,17)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足AE=25AD,AF=12AB,将△AEF

(1)证明:EF⊥PD;

(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

6.如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC,如图②所示,N为MC的中点

图①

图②

(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值.

(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值.

专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题答案

1.(1)证明因为BC⊥CD,BC⊥PC,PC∩CD=C,

所以BC⊥平面PCD.

又PD?平面PCD,

所以BC⊥PD.

由翻折可知PD⊥BD,BD∩BC=B,

所以PD⊥平面BCD.

又CD?平面BCD,所以PD⊥CD.

(2)解因为PC⊥BC,CD⊥BC,所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,即∠PCD=60°.

在Rt△PCD中,PD=CDtan60°=3CD.

取BD的中点O,连接OM,OC,则OM∥PD,OM=12PD

因为BC=CD,所以OC⊥BD.

由(1)知PD⊥平面BCD,所以OM⊥平面BCD,

所以OM,OC,OD两两互相垂直.

以O为原点,OC,OD,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.

设OB=1,则P(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M0,0,62,CP=(-1,1,6),

设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),

则n

令z=2,则x=3,y=3,所以n=(3,3,2)

设直线PC与平面MCD所成的角为θ,则sinθ=|cosCP,n|=|CP·n||CP||n

2.(1)证明∵AB∥CD,AB?平面PDC,DC?平面PDC,

∴AB∥平面PDC.

又平面PAB∩平面PDC=l,AB?平面PAB,

∴AB∥l.

又l?平面ABCD,AB?平面ABCD,

∴l∥平面ABCD.

(2)解设DC的中点为O,连接OP,OA,则PO⊥DC.

又平面PDC⊥平面ABCD,PO?平面PDC,平面PDC∩平面ABCD=DC,

∴PO⊥平面ABCD.

∵AB∥CD,AB=OC=1,∴四边形ABCO为平行四边形,

∴OA∥BC.

由题意可知BC⊥CD,∴OA⊥CD.

∴OA,OC,OP两两互相垂直.

以O为原点,OA,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(1,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,3).

由PO⊥平面ABCD,可知m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.

假设存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°,设CE=λCP(0≤λ≤1),则E(0,1-λ,3λ),∴DE=(0,2-λ,3λ).

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),DA=(1,1,0),

则n·DA=0,n·DE=0,即x