极值点偏移课件.pptx

极值点偏移

2025/1/16

知识梳理

1.极值点偏移的概念

已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点xo,f(x₁)=f(x₂)且x,在x₁与x₂之间，

(1)若f(x)=c的两根x₁,x₂的中点满,即极值点在两根的正中

间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x=xo两侧的函数值变

(无偏移，左右对称，二

次函数)若f(xi)=f(x₂),则x₁+x₂=2x₀.

化快慢相同，如图所示.

图①

知识梳理

1.极值点偏移的概念

已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点xo,f(x₁)=f(x₂)且x,在x₁与x₂之间，

(2)若f(x)=c的两根的中，则极值点偏移，此时函数f(x)

在x=xo两侧的函数值变化快慢不同，如图所示

极值点左偏移

(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x₁)=f(x₂),则x₁+x₂2xo-

知识梳理

1.极值点偏移的概念

已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点xo,f(x₁)=f(x₂)且x,在x₁与x₂之间，

(2)若f(x)=c的两根的中，则极值点偏移，此时函数f(x)

在x=xo两侧的函数值变化快慢不同，如图所示.

极值点右偏移

(左缓右陡，极值点向

右偏移)若f(x₁)=f(x₂),则x₁+x₂2x₀-

一y=C

Xox₂|

X+

x₁

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数f(x)存在两个零点x₁,x₂且x₁≠x₂,求证：x₁+x₂2x₀(x₀为函数的极值点);

(2)函数f(x)中存在x₁,x₂且x₁≠x₂,满足f(x₁)=f(x₂),求证：x₁+x₂2x₀(x₀

为函数f(x)的极值点);

(3)函数f(x)存在两个零点x₁,x₂且x₁≠x₂,令,求证：f(xo)0;

(4)函数f(x)中存在x₁,x₂且x₁≠x₂,满足f(x₁)=f(x₂),令,求证：f(xo)0.

知识梳理

知识梳理

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性.

极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大.

解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法(主要)、对数不等式法，少数用同构法，二者各有千秋，独具特色.

例题讲解

题型一不含参数的极值点偏移

例1已知函数f(x)=xe-x.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x₁≠x₂且f(x₁)=f(x₂),求证：x₁+x₂2.解：(1)由f(x)=e-x(1-x),

令f(x)0得x1;令f(x)0得x1,

∴函数f(x)在(一0,1)上单调递增，在(1,+o)上单调递减.所以在x=1处取得极大值f(1),且

(2)证明：由(1)可知，当f(x₁)=f(x₂),x₁≠x₂,可设x₁1x₂,确定围x₁,x₂范

欲证x₁+x₂2,即证x₂2-x₁,因为2-x₁,x₂∈(1,+0),f(x)在(1,+00)上单调递减，

故只需证f(x₂)f(2-x₁),又因为f(x₁)=f(x₂),故也即证f(x₁)f(2-x₁),

构造函数H(x)=f(x)-f(2-x),x∈(-○,1),则H(x)=(x-1)(e²x-2-1)e-x,换元

转换

因为x≤1,2x-2≤0,e²x-2-1≤0,所以H(x)≥0,H(x)在x∈[-0,1]上单调递增，

所以H(x)H(1)=0,即证得f(x₁)f(2-x₁)对x∈[-o,1]恒成立，故原不等式x₁+x₂2亦成立.

题型一不含参数的极值点偏移

方法：对称化构造函数

例1已知函数f(x)=xe-x.

(1)求函数f(x)的单调区