2024-2025学年上海交大附中高三上学期数学期末试卷及答案（2025.01）.docx

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交大附中2024学年第一学期高三年级数学期末

2025.01

一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分）

1．已知集合，，则________．

2．已知幂函数的图像过点，则________．

3．在的展开式中，的系数为________．

4．已知是奇函数，当时，，则________．

5．已知数列的前项和满足（其中常数满足，）．若数列是等比数列，则实数的值为________．

6．已知复数是纯虚数，则实数________．

7．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的2个球都是黑球的概率为________．

8．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围________．

9．已知，则的最大值为________．

10．的图像关于直线对称，则的值是________．

11.有三个观测站、、，其中在正东方向米，在正北方向米．某处传来了爆炸声．若站听到的时间比站早1秒，站听到的时间比站早1秒，则的最小整数值是________．（假定声波在空气中的传播速度为340米/秒，本题所有点均在同一平面上）

12．在平面中，非零向量、、满足，，则的最大值为________．

二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）

13．已知直线平面，则“直线”是“”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．设函数的定义域为，是的一个极大值点，以下结论一定正确的是（）

A．对任意， B．是的极小值点

C．是的极小值点 D．是的极小值点

15．、、均为正整数，．A袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为；B袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（）

A． B．

C． D．

16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”．已知函数、

中恰有一个为“函数”，则满足条件的的整数值的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题．（本大题共5小题，满分78分）

17．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）

在如图所示的圆锥中底面半径为2，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且．

（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；

（2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的大小．

18．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）

已知，．

（1）若关于的不等式的解集为，求实数和的值；

（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．

19．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）

某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：

性别

是否喜欢篮球

合计

喜欢

不喜欢

男生

450

150

600

女生

150

250

400

合计

600

400

1000

（1）依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

（2）用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用表示随机抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．

附：参考数据

，其中．

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

20．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知双曲线的离心率为2，点在上，、为双曲线的上、下顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点．

（1）求的方程；

（2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；

（3）设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．

21．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）

已知对任意正整数，都存在次多项式函数，使得对一切恒成立．例