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特训09多面体与求内切外接问题（八大题型）
一、外接球问题
若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问
题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置问题，其中球心位置的确定
是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。
如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球
的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：
结论1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。
结论2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。
结论3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。
结论4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。
结论5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
二、内切球问题
若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这
个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。并非所有多面体都有内切球，
下面介绍几种常见多面体内切球问题：
1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。
2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。
目录：
01：三棱柱
02：四棱锥
03：棱台
04：侧棱垂直于底面
05：正方体、长方体
06：其他多面体
07：三棱锥
08：折叠问题
01：三棱柱
1．在一个封闭的直三棱柱ABC-ABC内有一个体积为V的球，若AB^BC，AB=6，AC=10，
111
AA=5，则球的体积的最大值为（）
1
12532
A．πB．πC．27πD．36π
63
B
【答案】
VABCOrAC+AB+BC´r=6´8
【分析】设的内切圆的半径为，由等面积法得，解得r=2．由于
AA=5，所以球的最大半径为，由此能求出结果．
12
【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
所以球在底面VABC内的投影的圆面最大不能超出VABC的内切圆.
OVABCOr.
设圆与内切，设圆的半径为
由AB^BC，AB=6，AC=10，则BC=8
由等面积法得AC+AB+BC´r=6´8，得r=2.
由于三棱柱高AA=5，若球的半径R=2，此时能保证球在三棱柱内部，
1
ABC-ABC
所以直三棱柱111的内切球半径的最大值为2.
4p34p332π
r=´2=
所以球的体积的最大值为：.
333
故选：B
2．在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=4，为线段CC上动点，为BC边中点，则三棱锥A-BDE
1111E1D
外接球表面积的最小值
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