多元函数的全微分.pptxVIP

§8.2多元函数的偏导数与全微分(2)

主要内容

全微分的定义

函数可微的条件

由一元函数微分学中增量与微分的关系，在二元函数中分别令y,x为常数可得：

一、全微分的定义

全增量的概念

全微分的定义

事实上

从而

二、函数可微的条件

证

总成立,

同理可得

一元函数在某点的导数存在微分存在．

多元函数的各偏导数存在全微分存在．

？

例如:

则

函数的各偏导数存在,函数未必可求全微分。

证

（依偏导数的连续性）

习惯上，记全微分为

全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

有时也称二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和（叠加原理）．

从而叠加原理也适用于二元以上函数的情况．

解

所求全微分

解

解

所求全微分

证

令

则

同理

不存在

多元函数连续、可导、可微的关系

全微分在近似计算中的应用

也可写成

解

由公式得

思考题

（A）充分条件而非必要条件

（B）必要条件而非充分条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分条件又非必要条件

(A)连续、偏导数存在

（B）连续、偏导数不存在

(C)不连续、偏导数存在

（D）不连续、偏导数不存在

偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时