数学物理方程.ppt

例设求解常微分方程的初值问题解对进行拉普拉斯变换,设,则3.3积分变换法第73页,共84页，星期六，2024年，5月于是原方程变为由上式得:对进行拉普拉斯逆变换,得3.3积分变换法第74页,共84页，星期六，2024年，5月解问题归结为求解下列定解问题:例一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。3.3积分变换法对t进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道的值了第75页,共84页，星期六，2024年，5月方程通解为表示温度，当时，一定有界，所以亦有界，从而.对t进行拉普拉斯变换，设于是原问题变为3.3积分变换法第76页,共84页，星期六，2024年，5月由边值条件可知，即对p进行拉普拉斯逆变换，有3.3积分变换法第77页,共84页，星期六，2024年，5月于是查表得而易证3.3积分变换法第78页,共84页，星期六，2024年，5月所以于是3.3积分变换法第79页,共84页，星期六，2024年，5月例设求解下面定解问题解对进行拉普拉斯变换,则原方程变为即3.3积分变换法第80页,共84页，星期六，2024年，5月由条件得解得对取拉普拉斯逆变换，得3.3积分变换法第81页,共84页，星期六，2024年，5月数学物理方程+定解条件解常微分方程+定解条件解积分变换逆变换3.3积分变换法第82页,共84页，星期六，2024年，5月如何使用积分变换法求解定解问题：选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数的含参变量的常微分方程；2）对部分定解条件取相应的积分变换,导出象函数方程的定解条件；3）解关于象函数的定解问题,求出象函数；4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解.3.3积分变换法第83页,共84页，星期六，2024年，5月1）傅立叶变换的取值范围是，拉普拉斯变换的取值范围是。2）注意定解条件的形式。假如对进行拉普拉斯变换，而原方程为阶方程，则定解条件中应出现需要注意3.3积分变换法第84页,共84页，星期六，2024年，5月M点处于静止状态，说明T的振动尚未达到M点。①当时，为空集，所以②当时，不为空集，所以M点处于振动状态,表明T的振动已传到M点。③当时，为空集，说明振动已传过M点，M点仍回复到静止状态。3.2三维波动方程的泊松公式第41页,共84页，星期六，2024年，5月2.在某固定时刻，初始时刻的振动所传播的范围设，T是半径为R的球体。由Poisson公式，只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值，故P点的初始扰动，在时刻只影响到以P为球心，以为半径的球面当P在T内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为T内各点的振动在时刻所传播的区域，称为T在时刻的影响区域。3.2三维波动方程的泊松公式第42页,共84页，星期六，2024年，5月总之，三维空间中有限区域T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为Huygens原理。在足够大时，包络面以T的心o(T)为心，分别以和为半径的球面所夹部分。故时刻的影响区域为的球壳，球面是振动到