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2025届云南省昆明市高三第二次调研数学试卷含解析

一、选择题

(1)在函数y=f(x)中，若f(x)=3x^2+2x+1，且f(0)=4，则函数f(x)在x=1处的切线斜率为多少？

(2)已知数列{an}满足an=2an-1+3，且a1=1，求该数列的前10项和。

(3)在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，角B的余弦值为$\frac{1}{2}$，求角A的正弦值。

(4)设函数g(x)在区间[0,1]上连续，且g(0)=g(1)=0，若g(x)在区间(0,1)内恒大于0，则g(x)在x=0.5处的函数值至少为多少？

(5)已知数列{bn}的通项公式为bn=3^n-2^n，求该数列的前n项和Sn。

(6)在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为Q，直线PQ的方程为y=-x+b，求常数b的值。

(7)设函数h(x)=x^3-3x^2+4x-1，求函数h(x)的导数h(x)。

(8)在等差数列{cn}中，若c1=3，公差d=2，求该数列的通项公式。

(9)已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y+9=0，求圆C的半径。

(10)在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a+b+c=10，角A的余弦值为$\frac{1}{2}$，求三角形ABC的面积。

二、填空题

(1)设函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且满足f(x)+f(-x)=0，对于任意x∈(-1,1)，有f(x)=2x^2-1，则f(-1)的值为多少？

考虑函数f(x)在[-1,1]上的性质，f(x)是一个奇函数，因此有f(-x)=-f(x)。根据题目条件，对于任意x∈(-1,1)，f(x)=2x^2-1，则f(-x)=2(-x)^2-1=2x^2-1。结合奇函数的性质，我们得到f(x)=-f(-x)，代入已知的f(x)表达式，得到：

f(x)=-f(-x)

2x^2-1=-[2(-x)^2-1]

2x^2-1=-2x^2+1

解得x^2=\frac{1}{2}。由于x∈(-1,1)，因此x可以取\pm\sqrt{\frac{1}{2}}。当x=\sqrt{\frac{1}{2}}时，f(x)=2(\sqrt{\frac{1}{2}})^2-1=-\frac{1}{2}，当x=-\sqrt{\frac{1}{2}}时，f(x)=-2(-\sqrt{\frac{1}{2}})^2+1=\frac{1}{2}。因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)。根据f(1)=2(\sqrt{\frac{1}{2}})^2-1=-\frac{1}{2}，得到f(-1)=\frac{1}{2}。

(2)已知数列{an}满足an+1=3an-4，且a1=2，求该数列的前n项和Sn。

数列{an}是一个等差数列，首项a1=2，公差d=3a1-4=2。根据等差数列的求和公式Sn=\frac{n}{2}[2a1+(n-1)d]，将a1和d的值代入公式中，得到：

Sn=\frac{n}{2}[2*2+(n-1)*2]

Sn=\frac{n}{2}[4+2n-2]

Sn=\frac{n}{2}[2n+2]

Sn=n(n+1)

(3)在直角坐标系中，若点A(2,3)在直线y=kx+b上，且直线与x轴和y轴的截距之和为4，求直线方程。

点A(2,3)在直线y=kx+b上，代入点的坐标得到3=2k+b。又因为直线与x轴和y轴的截距之和为4，所以直线与x轴的截距为b，与y轴的截距为k。因此有：

b+k=4

现在我们有两个方程：

2k+b=3

b+k=4

将第二个方程减去第一个方程得到k=1。将k的值代入任意一个方程，比如第一个方程，得到：

2*1+b=3

b=3-2

b=1

因此直线方程为y=kx+b，代入k和b的值得到y=x+1。

三、解答题（一）函数与导数

(1)设函数f(x)=x^3-3x^2+4x+1，求f(x)的极值点及其对应的极值。

首先求函数f(x)的导数f(x)，根据导数的定义和求导法则得到：

f(x)=3x^2-6x+4

为了找到极值点，我们需要令f(x)=0，解这个方程得到极值点。使用求根公式或者因式分解法，我们可以解得：

3x^2-6x+4=0

x^2-2x+4/3=0

(x-1)^2=1/3

所以，x=1±\sqrt{1/3}。这两个值是函数f(x)的极值点。为了确定这些点是极大值点还是极小值点，我们需要计算f(x)。求二阶导数：

f(x)=6x-6

在x=1+\sqrt{1/3}和x=1-\sqrt{1/3}处计算f(x)的值：

f(1+\sqrt{1/3})=6(1+\sqrt{1/3})-6=6\sqrt{1/3}

f(1-\sqrt{1/3})=6(1-\sqrt{1/3})-6=-6\sqrt