线性变换及其矩阵表示.ppt

3线性变换及其矩阵表示在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。一、线性变换的引入线性变换的定义例1判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）例2定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换是一个线性变换.证明设则有例3线性空间V中的恒等变换（或称单位变换）I，是线性变换。证明则有设所以恒等变换是线性变换。例4线性空间V中的零变换是线性变换。证明设则有所以零变换是线性变换。例5证明实内积空间01是一种将笛卡儿积变换到实数域R上的线性变换。02例6A称为线性变换T的标准矩阵(Standardmatrix)。线性变换也称为矩阵变换。。易证T是线性变换.4线性变换T的象集是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。3若二、线性变换的性质则由于由此知它对中的线性运算封闭，故它是的子空间。证明从而4线性变换T的象集T（Vn）是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。证明则则三、线性变换在给定基下的矩阵定义设T是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换T下的象为其中那末，A就称为线性变换T在基下的矩阵。上式可表示为例6例7解由条件知例8定理设线性变换T在基e1,e2,…,en下的矩阵是A，向量β在基e1,e2,…,en下的坐标是(x1,x2,…,xn)，则T(β)在基e1,e2,…,en下的坐标(y1,y2,…,yn)可以按下式计算12定理线性变换的矩阵表示式*