系统微分算子方程.ppt

第二章连续信号与系统的时域分析第二章连续信号与系统的时域分析第2章连续信号与系统的时域分析01连续时间基本信号02卷积积分03系统的微分算子方程04连续系统的零输入响应05连续系统的零状态响应06系统微分方程的经典解法2.3系统的微分算子方程p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。2.3.1微分算子和积分算子例：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。性质1性质2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则微分算子的运算性质010203040506微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。也不能由方程通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是性质3例如，方程性质4设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式但是或缩写为对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为2.3.2LTI系统的微分算子方程用微分算子P表示可写成微分算子方程A传输算子B传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。用H(p)表示的系统输入输出模型例2.3–1设某连续系统的传输算子为01写出系统的输入输出微分方程02例2.3–2已知系统框图，求系统的传输算子。解设中间变量x(t)，左端加法器列方程右端加法器电路系统算子方程的建立在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。表2.2电路元件的算子模型例2.3–3电路如图所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。01解由节点电压法列出u1(t)的方程为02例2.3–4如图所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。解：列出网孔电流方程如下连续系统的零输入响应2.4.1系统初始条件根据线性系统的可分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即分别令t=0-和t=0+，可得0102对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。故同理，可推得y(t)的各阶导数满足系统的0-和0+初始条件2.4.2零输入响应算子方程设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且系统的特征多项式y(t)和f(t)满足的算子方程为yx(t)满足的算子方程为系统的特征方程：两边乘以，并整理得简单系统1若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt2.4.3简单系统的零输入响应系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=λ。简单系统2若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)eλt。由于即两边乘以e-λt，再取积分推广式中，r1+r2+…+rl=n02对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1,2,…,l)，且λi是ri阶重根，则012.4.4一般系统的零输入响应的解一定满足方程所以方程A(p)yx(t)=0根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,….,l,将相应方程求和，得方程第二章连续信号与系统的时域分析第二章连续信号与系统的时域分析