方向导数与梯度.ppt

证由于函数可微,得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理可微,则函数且则增量可表示为两边同除以方向导数与梯度第9页,共36页，星期六，2024年，5月故有方向导数方向导数与梯度P第10页,共36页，星期六，2024年，5月注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.方向导数与梯度在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微.]0[的方向角是，、lpba?第11页,共36页，星期六，2024年，5月例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.解方向导数与梯度第12页,共36页，星期六，2024年，5月解由方向导数的计算公式知(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例方向导数与梯度第13页,共36页，星期六，2024年，5月故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度第14页,共36页，星期六，2024年，5月方向导数与梯度求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.用参数方程表示为它在点P的切向量为解将已知曲线,171cos=\a1760=第15页,共36页，星期六，2024年，5月推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点的方向导数,可定义为方向导数与梯度同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有是l的方向向量.第16页,共36页，星期六，2024年，5月解令故其方向余弦为1991年研究生考题,计算,5分例方向导数与梯度)1,1,1(632222Pzyxn在点是曲面设=++,处指向外侧的法向量第17页,共36页，星期六，2024年，5月故方向导数与梯度第18页,共36页，星期六，2024年，5月练习求函数在点处沿解切线方向的方向向量在此点的切线方向上方向导数与梯度曲线的方向导数.第19页,共36页，星期六，2024年，5月1996年研究生考题,填空,3分解此方向的方向向量为方向导数与梯度.2121310)32(2132=+-+×××第20页,共36页，星期六，2024年，5月问题方向导数与梯度二、梯度概念与计算已知方向导数公式方向：模：方向一致时,方向导数取最大值f变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.)cos,(cos0ba=lr第21页,共36页，星期六，2024年，5月方向导数与梯度定义记作读作nable.即为函数称向量梯度(gradient),称为或算子,或向量微分算子.引入算符哈米尔顿算子,设函数可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成第22页,共36页，星期六，2024年，5月方向导数与梯度梯度的基本运算公式,grad)(grad2.uCuC=,gradgrad)(grad3.vuvu±=±vuuvvu?+?=?)(,grad)()(grad5.uufuf￠=第23页,共36页，星期六，2024年，5月结论x轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为方向导数与梯度第24页,共36页，星期六，2024年，5月在几何上曲面被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线梯度为等值线上的法向量表示一个曲面,所截得方向导数与梯度如图:第25页,共36页，星期六，2024年，5月法线的斜率为:为等值线上点P处的法向量.所以梯度事实上,由于等值线上任一点方向导数与梯度等值线第26页,共36页，星期六，2024年，5月类似于二元函数,此