国开大学电大《高等数学基础》2025期末试题及答案.docx

国开大学电大《高等数学基础》2025期末试题及答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.函数f(x)=\frac{x^21}{x1}在x=1处的极限是：

A.0

B.1

C.2

D.不存在

2.设f(x)=x^3，则f(x)是：

A.3x^2

B.3x

C.x^2

D.3x^3

3.\intx^2\,dx的结果是：

A.\frac{x^3}{3}+C

B.\frac{x^2}{2}+C

C.2x+C

D.x^3+C

4.微分方程\frac{dy}{dx}=3x^2的通解是：

A.y=x^3+C

B.y=3x^3+C

C.y=x^2+C

D.y=3x^2+C

5.级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}是：

A.发散的

B.条件收敛的

C.绝对收敛的

D.无法判断

二、填空题（每题3分，共15分）

6.\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\________。

7.若f(x)=e^x，则f(x)=\________。

8.\int(3x^2+2x+1)\,dx=\________。

9.微分方程yy=0的通解是y=\________。

10.级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}是\________（发散/收敛）。

三、计算题（每题10分，共40分）

11.计算极限：\(\lim_{x\to2}\frac{x^24}{x2}。

12.求函数f(x)=x^33x^2+2x的导数和二阶导数。

13.计算不定积分：\(\int(2x+1)e^x\,dx。

14.解微分方程：\(\frac{dy}{dx}=x^2y。

四、证明题（每题15分，共30分）

15.证明：\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx1}{x^2}=0。

16.证明：函数f(x)=x^33x^2+2x在区间(1,2)内至少有一个零点。

答案及解析

一、选择题

1.C.\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim_{x\to1}\frac{(x1)(x+1)}{x1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2。

2.A.f(x)=\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2。

3.A.\intx^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C。

4.B.\frac{dy}{dx}=3x^2\Rightarrowy=\int3x^2\,dx=x^3+C。

5.C.级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}是p级数，且p=21，故绝对收敛。

二、填空题

6.1。

7.e^x。

8.x^3+x^2+x+C。

9.Ce^x。

10.发散。

三、计算题

11.\lim_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=\lim_{x\to2}\frac{(x2)(x+2)}{x2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4。

12.f(x)=3x^26x+2，\(f(x)=6x6。

13.\int(2x+1)e^x\,dx使用分部积分法：

u=2x+1,\,dv=e^x\,dx\Rightarrowdu=2\,dx,\,v=e^x

\int(2x+1)e^x\,dx=(2x+1)e^x\int2e^x\,dx=(2x+1)e^x2e^x+C=(2x1)e^x+C

14.\frac{dy}{dx}=x^2y\Rightarrow\frac{dy}{y}=x^2\,dx\Rightarrow\int\frac{dy}{y}=\intx^2\,dx\Rightarrow\ln|y|=\frac{x^3}{3}+C\Rightarrowy=Ce^{\frac{x^3}{3