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第25讲函数、不等式模型实际应用问题

1．考题展望

函数、不等式模型及应用是新课标新增内容，因此

新高考深入加大了对应用意识和创新意识的考察力

度．这些试题源于生活，背景公平，设问新奇，能

很好地考察学生应用意识和创新意识以及分析问题

和处理问题的能力．函数、不等式模型及应用一般

是一小一大，求解时一般要运用导数或均值不等式

等知识．

从近几年高考应用题来看，应用题大体分为两类，一类

是以实际生产生活问题构建试题背景，从已知中初步建

立了数学模型，并且需根据问题情境，深入构建或重组

数学模型．并应用模型有关的数学基本知识来进行解模

的实际应用问题．另一类是实际生产生活问题既构建了

试题背景，又反应某种特定关系，需通过先建模，后解

模的实际应用问题；从题目论述上看，既有从“生活语

言”到“数学语言”，又有从“数学语言”到“数学语

言”的特性，并且试题文字较长，问题情境贴近学生而

又新奇，对考生挑战很大．

【命题立意】本题重要考察函数、方程和基本不等式等

知识，考察阅读理解能力和应用意识．

考题2(湖南)某企业接到生产3000台某产品的A，B，C

三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别

为2，2，1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件

6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200

名工人提成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人

数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整

数)．

(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完毕A，B，C三

种部件生产需要的时间；

(2)假设这三种部件的生产同步动工，试确定正整数k的

值，使完毕订单任务的时间最短，并给出时间最短时详

细的人数分组方案．

【命题立意】本题为函数的应用题，重要考察分段函

数、函数单调性、最值等知识，考察运算能力及应用

数学知识分析处理实际应用问题的能力．考察分类讨

论思想．

2．数学模型建立的重要环节

(1)理解问题：通过阅读理解、弄清问题的实际背景，

明白问题反应的基本量和基本量之间的关系，并转化为

用数学语言来描述．

(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中

反应的基本量的实质，并对问题作必要的简化，有时要

给出某些恰当的假设，精选问题中关键词和重要的变

量．

(3)数学建模：把握实际问题中的关键信息，通过恰当的

联想、化归，根据实际问题实质建立变量或参数间的数

学关系，实现实际问题数学化，通过引进数学符号，从

而构建数学模型．常用的数学模型有方程、不等式、函

数和数列等．

(4)求解模型：以所学的数学知识为工具，对建立的数学

模型进行求解．

(5)检查评价：将所求的成果代回模型之中检查，并与实

际状况比较，确定模型的有效性．

【点评】本例是含参变量的函数模型实际应用问题，

构建题设目的的函数模型后，需根据题设目的的函数

模型的导函数的特性，结合目的根据参变量的不一样

取值分类讨论处理实际问题．

【点评】本例第(1)小问依题设条件分段并运用不等式

的解法处理实际应用问题，第(2)小问应用等差数列的

基本知识与措施处理实际应用问题．

【点评】本例题是先依题设建立函数模型，然后根据题

设目的应用不等式和函数基础知识处理实际问题．

【点评】本题属新课标中函数模型拟合的内容．应用函

数模型的比较，决策最优方案也是应用函数模型的基本

问题之一．

1．函数模型应用实例的基本题型；

(1)给定函数模型处理实际问题；

(2)建立确定性的函数模型处理问题；

(3)建立拟合函数模型处理实际问题．

3．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜

密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后

进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为对应的数

学问题；二是要合理选用参变量，设定变元后，就要

寻找它们之间的内在联络，选用恰当的代数式表达问

题中的关系，建立对应的函数、方程模型，最终求解

数学模型使实际问题获解．

A

C

D

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