94、新一的神秘购物之旅.docx

解题思路

这是一道典型的多重背包问题，我们可以使用动态规划来解决。多重背包问题在算法领域中是一个经典的问题，它是背包问题的一个变种，在这个问题中，每种物品都有一定的数量限制，即最多可以选择的数量。

理解问题和确定目标

首先，我们需要理解问题的要求和目标。根据题目，新一有一定的预算，需要在预算范围内，购买总价值最高的奖品。这些奖品有不同的价格、价值和数量限制。我们的目标就是找出一个策略，使得在预算范围内，可以购买到的奖品的总价值最大。

为什么选择动态规划来解决问题呢？因为这个问题具有“最优子结构”和“无后效性”两个性质，这是动态规划的主要应用场景。最优子结构是指最优解包含子问题的最优解，无后效性是指状态转移只和当前状态有关，与如何达到当前状态无关。在这个问题中，如果我们知道了在某个预算下能购买的奖品的最大总价值，那么在增加预算后，新的最大总价值一定是在原有的最大总价值基础上增加，这就是最优子结构；而计算每个预算下的最大总价值时，只需要考虑当前的预算和奖品信息，与之前的决策无关，这就是无后效性。

构建动态规划模型

动态规划的关键是定义状态和状态转移方程。在这个问题中，我们可以定义状态?f[i][j]?为前?i?种奖品，在预算不超过?j?的情况下能获得的最大总价值。状态转移方程为f[i][j]=max(f[i][j],f[i?1][j?k×v[i]]+w[i]×k)，这个方程表明，当前的最大总价值要么是不选择第?ii?种奖品，即保持和前一个状态一样；要么是选择了?k?个第?i?种奖品，即在前一个状态的基础上增加了?k?个第?ii?种奖品的价值。k?的取值范围是?00?到?s[i]，s[i]?是第?i?种奖品的数量限制。

按步骤解决问题

根据上面的模型，我们可以按步骤解决问题。首先，初始化所有的状态为?0，这表示在没有任何奖品和预算的情况下，获得的最大总价值为?0。然后，按照奖品的顺序和预算的大小，依次计算每个状态。最后，输出状态?f[n][m]，这就是我们需要的答案，即在有?n?种奖品，预算为?m?的情况下，能获得的最大总价值。

这个解题思路的时间复杂度为O(n×m×s)，其中?n?是奖品的种类数m?是预算，ss?是奖品的最大数量。

AC_Code

C++

#includeiostream

#includealgorithm

usingnamespacestd;

constintN=510;

constintM=6010;

intv[N],w[N],s[N];

intn,m;

intf[N][M];

intmain(){

cinnm;

for(inti=1;i=n;++i){

cinv[i]w[i]s[i];

}

for(inti=1;i=n;i++){

for(intj=1;j=m;j++){

for(intk=0;k=s[i]k*v[i]=j;k++){

f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);

}

}

}

coutf[n][m]endl;

return0;

}

Java

importjava.util.Scanner;

publicclassMain{

staticintN=510;

staticintM=6010;

staticint[]v=newint[N];

staticint[]w=newint[N];

staticint[]s=newint[N];

staticintn,m;

staticint[][]f=newint[N][M];

publicstaticvoidmain(String[]args){

Scannersc=newScanner(System.in);

n=sc.nextInt();

m=sc.nextInt();

for(inti=1;i=n;++i){

v[i]=sc.nextInt();

w[i]=sc.nextInt();

s[i]=sc.nextInt();

}

for(inti=1;i