数值分析第一章.ppt

例7为使的近似数的相对误差小于0.1%，问查开方表时，要取几位有效数字？解：∵89∴x1=8∴-(n-1)lg2+2lg3+(-3)-n1.2552-4-n-2.7448∴n2.7448取n=3即查平方表时?8.37取三位有效数字∴第30页,共58页，星期六，2024年，5月1.3.3数值运算的误差估计1、四则运算的误差估计两个近似数与,其误差限分别为及,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为第31页,共58页，星期六，2024年，5月从而有的相对误差对于近似值，函数在舍去右边第二项得到即的绝对误差可以得到附近按泰勒展式展开得到2、函数误差估计当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。第32页,共58页，星期六，2024年，5月对绝对误差式两边取绝对值得故的相对误差限的误差限而解释：第33页,共58页，星期六，2024年，5月当为多元函数时计算,如果的近似值为,则的近似为于是函数值的误差由Taylor展开,得：多元函数的情况第34页,共58页，星期六，2024年，5月于是误差限为而的相对误差限为式(1)第35页,共58页，星期六，2024年，5月第36页,共58页，星期六，2024年，5月第37页,共58页，星期六，2024年，5月例8:已测得某场地长的值为,宽的值为,已知,.试求面积的绝对误差限与相对误差限.解:因其中由式(1)得第38页,共58页，星期六，2024年，5月而于是绝对误差限为相对误差限为第39页,共58页，星期六，2024年，5月3、算法的数值稳定性数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动（即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称其为数值不稳定。第40页,共58页，星期六，2024年，5月例9：求定积分的值.解：直接积分可产生递推公式若取初值第41页,共58页，星期六，2024年，5月可得递推公式按公式就可以逐步算出Whathappened?!不稳定的算法！这就是误差传播所引起的危害!注意此公式精确成立，且第42页,共58页，星期六，2024年，5月由题设中的递推公式（1）可看出，的误差扩大了5倍后传给，因而初值的误差对以后各步这就造成的计算结果严重失真。计算结果的影响，随着的增大愈来愈严重。要怎么做才能解决这个问题呢?第43页,共58页，星期六，2024年，5月可求得I9?0.017，按改写后的公式可逐次求得不妨设I9?I10，于是由将公式变为(2)第44页,共58页，星期六，2024年，5月 I8?0.019I7?0.021 I6?0.024I5?0.028 I4?0.034I3?0.043 I2?0.058I1?0.088 I0?0.182稳定的算法！在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。第45页,共58页，星期六，2024年，5月注：递推公式(1)的舍入误差以5的幂次增长进行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式(2)的舍入误差在一定范围内以0.2的幂次进行传播，随着n的增大，误差逐步减少，因此该算法是数值稳定的。因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定的算法，称为无条件稳