系统的状态空间表达式.ppt

状态方程为：输出方程为：写成矩阵形式：例系统如图图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空间模型。解：设在外力u（t）作用于小车前，小车已处于平衡态。这里仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如下图所示。由牛顿第二定律有：输出方程：状态变量代入，得：选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作状态变量。对本例，有即得如下矩阵形式的状态空间模型：12设单输入-输出线性定常连续时间系统微分方程描述为它的传递函数为为了得到微分方程式或传递函数式所示系统的状态空间描述，首先选择适当的状态变量，以保证得到前面描述形式的状态方程由输入-输出微分方程确定状态空间描述的问题称为实现问题0201030405化输入-输出方程为状态空间表达式当mn时01当m=n时状态空间表达式的状态方程不变，而输出方程为011、化为能控标准型状态方程2、化为能观标准型状态方程例将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型因此，可得状态空间模型如下解本例中a0=6a1=11a2=6b0=2其系统结构图如下所示“2”和“1”能否互换？能观标准型如何表示？状态方程的对角线和约旦标准型

（状态向量的线性变换）对于给定的线性定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，即系统可以有多种结构形式。其实质是矢量的线性变换。设给定系统为存在任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量作线性变换，设变换关系为得到新的状态空间表达式0102系统状态空间表达式的非唯一性01解：02取变换：例下列系统作线性变换：状态空间表达式变为：系统特征值的不变性及系统的不变量设给定系统的状态方程为系统的特征值定义为如下特征方程 的根。系统特征值同一系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。特征值的不变性由于特征值全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么特征多项式的系数为系统的不变量。系统的不变量如果对一个非零向量成立 ，称非零向量为矩阵A的属于特征值的特征向量。特征向量不是唯一的。当n个特征值 为两两相异时，任取的n个特征向量 必是线性无关的。特征矢量对系统∑，如其n个特征值 为两两相异，利用它们的特征向量组成变换矩阵 ，那么系统的状态方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范型：其中，对角线规范型例：试将下列普通状态空间模型变换为对角规范形解：先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为求特征值所对应的特征向量：由前述的方法可求特征值λ1、λ2和λ3所对应的特征向量：取：121896192019872006*系统的数学模型或称为系统的数学描述通常可以分为以下两种类型：（1）系统的外部描述，即输入-输出描述，这种描述将系统看成一个“黑箱”，只从系统的输入-输出因果关系中获悉系统特性。古典控制理论采用的传递函数描述属系统的外部描述。（2）系统的内部描述，它是系统的完全描述，完整地表征了系统的动力学特征。*一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。在特定时刻t，状态向量x(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻t0的状态x(t0)，得到状态空间中的一个初始点，随着时间推移，状态向量x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。*一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。在特定时刻t，状态向量x(t)在状态空间中是一点。已知初始时刻t0的状态x(t0)，得到状态空间中的一个初始点，随着时间推移，状态向量x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。*所谓确定性系统，是指系统的特性和参数是按确定的规律而变化，且各个输入变量也是按确定的规律而变化。确定性系统的一个特点是，其状态和输出变量都为时间t的确定性函数。随机系统的特点是，作用于系统的变量是随机变量，不能确定状态和输出变量的直接时间过程，只能确定其统计的规律性。第1章控制系统的状态空间表达式01状态变量和状态空间表达式02化输入-输出方程为状态空间表达式03状态方程的对角线和约旦标准型（状态向量的线性变换）04由状态空间表达式导出传递函数阵05离散时间系统的状态空间表达式06时变系统的状态空间表达式本章内容系