数学模型的相互转换.ppt

用法举例：1）已知系统状态空间模型为：》A=[01;-1-2];B=[0;1];》C=[1,3];D=[1];》[num,den]=ss2tf(A,B,C(D,1)％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。》num=152;den=121;》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)》z=-4.5616p=-1k=1-0.4384-1第30页,共30页，星期六，2024年，5月2.1连续系统数学模型2.1.1表达形式描述控制系统的主要模型有微分方程、状态空间表达式等形式的时域描述法和用传递函数描述的频域描述法。即对于一个连续的控制系统，数字仿真常用的数学模型一般有3种表示方式：◆直接用微分方程描述；◆用传递函数描述；多项式形式零极点形式◆状态方程描述；这三种描述方式是可以相互转换的。第2页,共30页，星期六，2024年，5月(1).微分方程设连续系统的输出量为y(t)，输入量为u(t)，采用微分方程的形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：（2.1）上式中，为常数。(2).传递函数第3页,共30页，星期六，2024年，5月对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、输入及其各阶导数的初值均为零，可得到（2.2）式中，-系统输出的拉氏变换；-系统输入的拉氏变换；可得系统的传递函数为：(2.3)第4页,共30页，星期六，2024年，5月微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。(3).状态空间表达式状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：(2.4)第5页,共30页，星期六，2024年，5月定义n个状态变量为，且令写出各个状态变量的一阶微分方程形式第6页,共30页，星期六，2024年，5月将上述n个一阶微分方程写成矩阵向量形式为(2.5)上式称为状态空间表达式，其中A、B、C为系数矩阵，x为状态变量。第7页,共30页，星期六，2024年，5月2.1.2.数学模型的相互转换由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学模型往往是不一致的，不同的应用场合需要对控制系统的数学模型进行转换（1）微分方程转化为传递函数和状态空间表达式例2.1已知某控制系统的微分方程为将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。第8页,共30页，星期六，2024年，5月解：①将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零，则可用以下传递函数表示根据传递函数定义有第9页,共30页，星期六，2024年，5月③按照状态空间描述，将各变量和系数矩阵表达为②由于是二阶导数，可以引入两个状态变量，将给定的二阶微分方程写成一阶微分方程组形式第10页,共30页，星期六，2024年，5月（2）传递函数转换成状态空间表达式转换采用的方法是状态变量图法，用基本模拟单元替代系统的传递函数得到的图形式系统结构图，在系统结构图上标上状态变量的图形是状态变量图，然后再求出状态空间表达式。图2-1积分器的系统结构图和状态变量图由状态变量图根据积分器的输入、输出关系写出：输出方程状态方程对于初始条件为零的积分器第11页,共30页，星期六，2024年，5月对于带反馈的积分器，其传递函数为图2-2带反馈积分器的状态变量图由积分器输入、输出关系得到第12页,共30页，星期六，2024年，5月从上面得到由系统结构图到状态变量图并到处状态空间表达式的步骤如下：根据系统的传递函数，画出系统结构图，n阶系统有n个积分器；把积分器输出处定为状态变量x，积分器输入处为状态变量微分，并把状态变量x，和状态变量微分分别标在积分器输入和输出处，得到状态变量图；根据积分器输入、输出的方程写出系统的状态方程和输出方程。对于高阶、复杂系统采用级联法、并联法和串联法得到代表实际系统传递函数的系统结构图及相应的状态变量图，依据同样方法求得状态空间表达式。第13页,共30页，星期六，2024年，5月对于一个三阶系统的传递函数，(2.6)（1）级联法采用如下步骤进行：◆用传递函数的最高阶次除以传递函数分子分