2024年高考数学一轮知识点复习—空间向量与立体几何（解析版）.pdf

空间向量与立体几何

一、知识速览

二、考点速览

知识点1空间向量的概念及有关定理

1、空间向量的有关概念

（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；

（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；

（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；

（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；

（5）共面向量：平行于同一个平面的向量

2、空间向量的有关定理

（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.

（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对(x，y)，使.

（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，

y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．

知识点2两个向量的数量积及其运算

1、空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫

做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，

若，则称与互相垂直，记作.

②非零向量，的数量积．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：；

②交换律：；

③分配律：.

2、空间向量的坐标表示及其应用

设，，

向量表示坐标表示

数量积

共线，，

垂直

模

夹角

知识点3空间中的平行与垂直的向量表示

1、直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直

线l的方向向量．

（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．

2、空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线l，l的方向向量分别为，

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直线l的方向向量为，平面α的法向量为

平面α，β的法向量分别为，

知识点4利用空间向量求空间角

1、异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．

2、直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，

φ为l与α所成的角，则.

3、二面角

（1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是

向量与的夹角，如图a.

（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β

为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.

知识点5利用空间向量求空间距离

1、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，