2024年数学高考一轮复习直线方程与圆的方程试卷.docx

9.1直线方程与圆的方程（精讲）

直线的斜率与倾斜角

1.直线的方向向量

设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．

2．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．

3．直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．

二．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

y－y0＝k(x－x0)

不含直线x＝x0

斜截式

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)

(x1≠x2，y1≠y2)

不含直线x＝x1和直线y＝y1

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

平面直角坐标系内的直线都适用

三．直线的位置关系

1．两条直线的平行与垂直

(1)两条直线平行

若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tanα1＝tanα2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2．

(2)两条直线垂直

设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.也就是说，l1⊥l2?k1k2＝－1．

2．两条直线的交点坐标

已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．

四．三种距离

点点距

点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)

点线距

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))

线线距

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离

d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

五．圆的定义和圆的方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心C(a，b)

半径为r

一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F＞0)

充要条件：D2＋E2－4F＞0

圆心C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))

半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)

有关圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；

(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；

(3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内．

2．直线与圆的位置关系

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

2个

1个

0个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

d＜r

d＝r

d＞r

代数法：由

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))

消元得到一元二次方程根的判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

3.圆与圆位置关系的判定

(1)几何法

若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置

关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与

r1，r2的

关系

d＞r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|＜d＜r1＋r2

d＝|r1－r2|

(r1≠r2)

0≤d＜|r1－r2|

(r1≠r2)

(2)代数法

通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圆C1方程,圆C2方程))eq\o(――→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(