1.3 第2课时 正方形的判定（北师大版九年级上册数学课件）.pptx

第一章特殊平行四边形

1.3正方形的性质与判定

第2课时正方形的判定

旧知回顾

1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.

2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

3.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积

是(A)

A.8B.4C.8D.16

自学互研

探索正方形的判定方法

活动1

将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样

剪才能剪出一个正方形?

答：剪下一个等腰直角三角形.

问题1

满足怎样条件的矩形是正方形?

1.一组邻边相等

猜想：矩形正方形

2.对角线互相垂直

证一证

已知：如图，在矩形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC⊥DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO=BO=DO,∠ADC=90°.

∵AC⊥DB,

∴AD=AB=BC=CD,

∴四边形ABCD是正方形.

活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱

形框架的形状.量量看是不是正方形.

万可

万为可d

问题2

满足怎样条件的菱形是正方形?

1.一个角是直角

猜想：菱形正方形

2.对角线相等

证一证

已知：如图，在菱形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD,ACLDB.

∵AC=DB,

∴AO=BO=CO=DO,

∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

∴四边形ABCD是正方形.

归纳总结

正方形的判定定理：

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.

(3)有一个角是直角的菱形是正方形.

(4)对角线相等的菱形是正方形.

练一练

在四边形ABCD中，0是对角线的交点，能判定这个四边

形是正方形的是(C)

A.AC=BD,AB//CD,AB=CD

B.AD//BC,∠A=∠C

C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

自主探究

正方形判定定理的应用

1.将一张矩形纸片对折两次(两条折痕互相垂直),然后剪下一个角后，

打开这个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

2.下列说法不正确的是(C)

A.对角线互相垂直的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.有一个角是直角的平行四边形是正方形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

典例讲解

例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且

AE=BF=CM=DN.四边形EFMN是正方形吗?为什么?

分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,得四边

形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA,

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

∵AE=BF=CM=DN,

∴AN=BE=CF=DM.