数值插值方法 (2).ppt

设节点x0x1…xn，分段插值函数Hn(x)在两个相邻节点构成的小区间[xj,xj+1] (j=0,1,…n-1)上满足条件：三、分段三次Hermite插值用三次Hermite插值，当x?[xj,xj+1]时，有第53页,共63页，星期六，2024年，5月其中第54页,共63页，星期六，2024年，5月3.5三次样条插值样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。第55页,共63页，星期六，2024年，5月一、三次样条插值函数的定义定义：给定区间[a,b]上的一个划分：a=x0x1…xn=b，已知函数f(x)在点xj上的函数值为 f(xj)=yj,(j=0,1,2,···,n)如果存在分段函数满足下述条件：第56页,共63页，星期六，2024年，5月(1)S(x)在每一个子区间[xj-1,xj](j=0,1,2,···,n)上是一个三次多项式；(2)S(x)在每一个内接点xj(j=0,1,2,···,n)上具有直到二阶的连续导数；则称S(x)为节点x0,x1,…,xn上的三次样条函数。若S(x)在节点x0,x1,…,xn上还满足插值条件：(3)S(xj)=yj(j=0,1,2,···,n)则称S(x)为三次样条插值函数。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）第57页,共63页，星期六，2024年，5月三次样条插值多项式的确定：由(1)知，S(x)在每一个小区间[xj-1,xj]上是一三次多项式，若记为Sj(x),则可设要确定函数S(x)的表达式，须确定4n个未知系数{aj，bj，cj，dj}(j=1,2,…,n)。由(2)知，S(x)，S`(x)，S``(x)在内节点x1,x2,…,xn-1上连续，则j=1,2,…,n-1第58页,共63页，星期六，2024年，5月可得3n-2个方程，又由条件(3)j=1,2,…,n得n+1个方程，共可得4n-2个方程。要确定4n个未知数，还差两个方程。通常在端点x0=a,xn=b处各附加一个条件，称边界条件，常见有三种：(1)自然边界条件：(2)固定边界条件：－自然样条（最光滑）(3)周期边界条件：共4n个方程，可唯一地确定4n个未知数。第59页,共63页，星期六，2024年，5月例已知f(x):f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，求f(x)在[-1,1]上的三次自然样条插值函数。解设由插值条件和函数连续条件得：第60页,共63页，星期六，2024年，5月由一阶及二阶导数连续得：由自然边界条件得：联立上面8个方程，求解得故第61页,共63页，星期六，2024年，5月P137-138习题五：1，2，4，5。补充题见下页：本章作业第62页,共63页，星期六，2024年，5月当f(x)是n次的多项式时,Ln(x)=f(x)。即n次多项式的n次插值函数即为该n次多项式本身。说明：n=1时，n=2时，第21页,共63页，星期六，2024年，5月例:解:第22页,共63页，星期六，2024年，5月第23页,共63页，星期六，2024年，5月5.3分段低次插值高次插值的病态性质：对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多项式插值。但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？20世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。第24页,共63页，星期六，2024年，5月Runge反例:(-5≤x≤5)它在[-5,5]上各阶导数均存在，在该区间上取n+1个等距节点：构造拉格朗日插值多项式为：令则第25页,共63页，星期六，2024年，5月20.1379310.759615-0.62168440.066390-0.3568260.42321660.0544630.607879-0.55341680.049651-0.8310170.880668100.0470591.578721-1.531662120.045440-2.7550002.800440140.044334