数学建模讲座数学建模漫谈.ppt

1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。4.模型求解。5.模型的分析与检验。在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用第53页,共64页，星期六，2024年，5月用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解初等代数中的数学模型——“航行问题”一些简单实例第54页,共64页，星期六，2024年，5月航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第55页,共64页，星期六，2024年，5月崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。第56页,共64页，星期六，2024年，5月方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。第57页,共64页，星期六，2024年，5月除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令k=K/m，解得代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有再积分一次，得：第58页,共64页，星期六，2024年，5月若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。①多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。第59页,共64页，星期六，2024年，5月还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。第60页,共64页，星期六，2024年，5月数学建模示例椅子能在“不平”的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第61页,共64页，星期六，2024年，5月模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是?的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(?)B,D两脚与地面距离之和~g(?)两个距离xBADCOD′C′B′A′?椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第62页,共64页，星期六，2024年，5月用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(?),g(?)是连续数对任意?,f(?),g(?)至少一个为0数学问题已知