2024--2025学年北师大版（2024）七年级数学下册+5.2简单的轴对称图形+第3课时+角平分线的性质++课件.pptx

5.2简单的轴对称图形

第3课时角平分线的性质

1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理；

(重点)

2.会用尺规作角平分线，能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.(难点)

角是生活中常见的图形.角是轴对称图形吗?

如果是，你能找出它的对称轴吗?

情境导入

新知小结

如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么?

A

B

角的对称性

角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它

的对称轴.

∠AOB中画出以0P所在直线为对称轴的一组对应点D和D连接CD和CD.

(1)你认为线段CD和CD之间有什么关系?说说你的理由.

解：(1)CD=CD

理由：∵0P是∠AOB的平分线，

∴∠AOP=∠BOP.

∵点D和D关于0P所在直线对称，

∴0D=OD.

∵0C=0C,

∴△CDO≌△CD0(SAS).

∴CD=CD.

思考

如图5-19,0P是∠AOB的平分线，点C是0P上的任意一点.在

(2)特别地，当CD⊥0A时(如图5-20),CD与OB有怎样的位置

关系?为什么?此时，线段CD和CD之间还有(1)中的关系吗?

(2)CD⊥OB.因为点D和点D关于OP所在直线对称.

线段CD和CD依旧相等.

图5-20

由此你能得到

什么结论?

思考

新知小结

角平分线的性质

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

◆应用格式：

∵OP是∠AOB的平分线，

PD⊥0A,PE⊥OB,

∴PD=PE

典例精析

例1如图所示，点0在∠BAC的平分线上，OD⊥AC,OE⊥AB,垂足分别为D,E,D0,EO的延长线分别交AE,AD的延长线于点B,C,OB

与OC相等吗?为什么?

解：0B=0C.

理由如下：

∵点0在∠BAC的平分线上，OD⊥AC,OE⊥AB,∴0E=OD,∠BEO=∠CDO=90°.

在△BEO和△CDO中，

∵∠BEO=∠CDO,OE=OD,∠EOB=∠DOC,∴△BEO≌△CDO(ASA).

∴0B=0C.

B

C

1.如图所示，已知∠C=∠D=90°,E是CD上的一点，AE,BE分别平分

∠DAB,∠ABC.试说明：E是CD的中点.

解：过点E作EF⊥AB于点F.

∵∠C=∠D=90°,

∵AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC,

∴CE=EF,DE=EF,

∴CE=DE,

∴E是CD的中点.

针对练习

A

应用角平分线的性质的两点注意

(1)应用角平分线的性质时，“点在角平分线上”“点到角两边的距离”两个条件缺一不可，不能错用为角的平分线上的点到角两边上任意点的距离相等.

(2)由角平分线的性质不用说明三角形全等便可以直接得到线段相等，这是说明线段相等的一个简便方法.

针对练习

思考

如图，已知∠AOB,如何作出它的平分线?

假设∠AOB的平分线已作出，那么

(1)这条射线有什么特征?

(2)如何确定这条射线上除端点之外的一

个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试

一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流.

解：(1)这条射线到角两边的距离相等.需要确定的点是角

的对称轴上的点，

因此应当从角两边进行“对称”的操作.

例2如图，已知∠AOB,请用尺规作∠AOB的平分线.

作法：

1.在0A和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.

2.分别以点D和点E为圆心，以大于；DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C.3.作射线OC.

射线OC就是∠AOB的平分线.

典例精析

针对练习

2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(D)

A.△ABC的三条中线的交点

B.△ABC三边的中垂线的交点

C.△ABC三条高所在直线的交点

D.△ABC三条角平分线的交点C

随堂检测

1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DB=5,BC=8,则DE的长为(A)

A.3B.4C.5D.6

2.如图所示，AB//CD,0为∠BAC,∠ACD的平分线的

交点，OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB与CD之间的距离为(D)

A.3B.3.5C.4