2024年数学高考一轮复习空间几何体积与表面积试卷.docxVIP

7.2空间几何体积与表面积（精讲）

一．空间几何体的结构特征

1.多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点，但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

2.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系

3.旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，

垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆面

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

三．柱、锥、台、球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

四．直观图

1.画法：常用斜二测画法.

2.规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

五．平面有关的基本事实及推论

1.与平面有关的三个基本事实

基本事实

内容

图形

符号

基本

事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α

基本

事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本

事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

2.基本事实1的三个推论

推论

内容

图形

作用

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

确定平面的依据

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

六．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形语言

符号语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形语言

符号语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形语言

符号语言

a，b是异面直线

a?α

一.空间几何体表面积的求法

1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

二.求空间几何体的体积的常用方法

(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；

(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；

(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.

三．立体中的截面、截线

1.作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．

2.作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

四．证明点或线共面问题的2种方法

1.先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

2.直接证明这些点都在同一条特定直线上．

3．证明线共点问题的常用方法;先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

考法一基本立体图形

【例1-1】（2023春·河北石家庄）（多选）下列说法中不正确的是（????）

A．正四棱柱一定是正方体

B．圆柱的母线和它的轴不一定平行

C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥

【答案】ABD

【解析】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，

对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；

对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形