整体把握数学思想方法在数学教学中的作用.ppt

18世纪是概率论的正式形成和发展时期1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发现了概率论最重要的定律之一——“大数定律”。从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。之后，法国数学家棣莫弗在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。

第102页,共118页，星期六，2024年，5月§4数学史上的四次思想解放一、承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊毕达哥拉斯学派集宗教、科学和哲学于一体，他们认为“数”是万物的本源，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。第103页,共118页，星期六，2024年，5月希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条。该学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。第104页,共118页，星期六，2024年，5月这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收入他的《几何原本》中。第105页,共118页，星期六，2024年，5月二、微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，古希腊芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。第106页,共118页，星期六，2024年，5月牛顿在发明微积分的时候合理地设想：?t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。第107页,共118页，星期六，2024年，5月包括莱布尼兹对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。这就是数学史上所谓第二次数学危机。英国大主教贝克莱于1734年发表文章攻击说：“流数是消失了的量的鬼魂。”罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”第108页,共118页，星期六，2024年，5月三、非欧几何的诞生是第三次思想解放《几何原本》公设①～④都是很容易接受的，对于“第五公设”有人想能否从中去掉它，然后由别的来代替。那么，唯一的办法就是用别的定理去证明它也能获得同样结论。第一个做这件事的人就是仅与欧几里得相差不到一世纪的著名天文学家、几何学家托勒密，但没有获得成功。尔后到公元5世纪的普洛克拉斯，17世纪的沃利斯，也都没有获得什么进展。直到19世纪初，所有用欧几里得的公理去证明欧几里得平行的公理的尝试，都失败了，它整整困惑了人们2000多年。第109页,共118页，星期六，2024年，5月这时，非欧几何可以说已经呼之欲出了。当时德国高斯、俄国数学家罗巴契夫斯基等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。罗巴契夫斯基在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴契夫斯基平行公理：在这种几何里，三角形内角和小于两直角。当时罗巴契夫斯基称这种几何学为虚几何学，后人又称为罗巴契夫斯基几何学，简称罗氏几何，也称双曲几何。19世纪初，当一大批数学家们开始意识到第五公设是不可证明时，那唯一的办法，要么干脆承认第五