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数值分析牛顿迭代法
《数值分析》4Newton迭代格式Newton迭代法的收敛性Newton迭代法收敛速度弦截法迭代格式????第2页,共24页，星期六，2024年，5月
NatureandNaturelawlayhidinnight.Godsaid,LetNewtonbe,andallwaslight.AlexanderPope第3页,共24页，星期六，2024年，5月
给定初值x0,迭代产生数列x0,x1,x2,···,xn,···第4页,共24页，星期六，2024年，5月
设x*是方程f(x)=0的根,x0是x*的近似值。在x0附近对函数做局部线性化x1比x0更接近于x*x0x1x*f(x)=0??化难为易化繁为简第5页,共24页，星期六，2024年，5月
应用——求正数平方根算法设C0,x2–C=0令f(x)=x2–C,则第6页,共24页，星期六，2024年，5月
初值:x0=1.5迭代格式:xn+1=0.5(xn+2/xn)(n=0,1,2,·····)例1.平方根算法求xn|en|1.4166666666666672.45e-0031.4142156862745102.12e-0061.4142135623746901.59e-0121.4142135623730952.22e-0161.4142135623730952.22e-016表1平方根算法实验第7页,共24页，星期六，2024年，5月
收敛性:(1)符合不动点框架(2)从序列收敛的角度(单调有界序列)第8页,共24页，星期六，2024年，5月
由此可知平方根算法具有2阶收敛速度。思考:如何求倒数、平方根和立方根？第9页,共24页，星期六，2024年，5月
Newton迭代法的局部收敛性定理2.7设f(x)在点x*的某邻域内具有二阶连续导数,且f(x*)=0和f′(x*)≠0,则对充分靠近点x*的初值x0,Newton迭代法至少平方收敛。所以Newton迭代法至少平方收敛。?第10页,共24页，星期六，2024年，5月
例2.求x3+10x–20=0在x0=1.5附近的根解:取牛顿迭代格式则有nxn|en|01.511.597014925370.00245280874198121.594563748761.632137654805e-0631.594562116637.227551890309e-1341.594562116632.220446049250e-16表2牛顿迭代法实验第11页,共24页，星期六，2024年，5月
注释1:为了二次收敛有意义我们需要f′(x)相除,这个假设是关键的。f(x)=x3–3x+2=0在x*=1附近第12页,共24页，星期六，2024年，5月
x*x0?x0?x0Newton方法收敛性依赖于x0的选取。存在x0使Newton迭代法陷入死循环。注释2:第13页,共24页，星期六，2024年，5月
Newton迭代法的变型－弦截法由于代入牛顿迭代格式?x0x1第14页,共24页，星期六，2024年，5月
n xn |en| |en+1|/|en|1.6181-1.5 5.00e-001 2-2.5 5.00e-001 1.53473-1.83783783783 1.62e-001 0.49784-1.95420890762 4.57e-002 0.86915-2.00552244119 5.52e-003 0.81096-1.99982796307
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