数值积分与数值微分.ppt

，由于实际问题中，通常不一定提供准确的数据，而只是给出含有误差的数据（如：由于计算机字长的限制而产生的舍入误差）。因而实际求得的积分值为：那么，原始数据的误差对积分值的影响能否加以控制呢？上面已经证明Gauss公式的求积系数则又由于Gauss公式对f(x)=1准确成立,即下面讨论求积过程的数值稳定性问题。利用公式计算积分时第69页,共97页，星期六，2024年，5月则由此可以断定Gauss公式是稳定的。，其中称为权函数。考察积分当时即为普通积分。可以仿照处理普通积分的方法讨论带权的积分。如，求积分公式如果对于任意次数不超过2n+1的多项式均能准确地成立，则称之为Gauss型的。上述Gauss公式求积节点仍称为Gauss点。同样地，是Gauss点的充要条件为：是区间上关于权函数的正交多项式五带权的Gauss公式若.且权函数则所建立的Gauss求积公称之为（高斯-切比雪夫公式）式为：第70页,共97页，星期六，2024年，5月确定了Gauss点后，再利用Gauss公式2n+1次代数精确度关系定值得指出的是：运用正交多项式的零点构造Gauss求积公式，这种方法只针对某些特殊的权函数才有效。构造Gauss公式的一般方法是利用代数精度的概念用代定系数法求解。现举一例加以说明：设要构造下列形式的Gauss公式：令它对准确成立，得：的正交多项式是切比雪夫多项式，因此求积公式（*）的Gauss点是n+1次切比雪夫多项式的零点，即为：由于区间[-1，1]上关于权函数第71页,共97页，星期六，2024年，5月从而所构造的Gauss求积公式为：例1：选取常数a，求使积分公式的代数精度尽量高，并问其代数精度为几次？解：取f(x)=1.则对上求积公式，左端六综合例题解此方程组得：f(x)=x.则，左端=第72页,共97页，星期六，2024年，5月令左端=右端左端=再取故，当取时，求积公式具有3次代数精度。例2若用复化梯形公式计算积分问积分区间要多少等分才能保证有6位有效数字？解：由复化梯形公式截断误差（13）式知第73页,共97页，星期六，2024年，5月由于该积分有一位整数，所以要求使近似积分有6位有效数字，只需取n满足：（有效数字定义见第一章，表示不超过某一位数字的一半）即即因此，至少要将[0，1]区间212等分。若将同一问题改为复化Simpson公式，则由复化Simpson公式截断误差（14）式同样可得：由此可见，Simpson公式复化型比复化梯形公式计算量少得多。的近似值，要求误差例3用Romberg求积法计算第74页,共97页，星期六，2024年，5月解：此时积分限为a=0,b=1.而(本例主要说明Romberg过程）①．②．③．④．⑤．⑥．⑦．⑧．⑨．⑩．第75页,共97页，星期六，2024年，5月如此继续算得：由于这个实例表明,Romberg求积法计算过程不便于手工计算，但由于计算程序具有规律性，不必存储求积系数和节点，而且精度较高，因此适合于在电子计算机上进行计算。用Romberg方法计算时，是把区间逐次分半的，因此有时称该法为逐次分半加速法。例4构造三个节点的Gauss-Legendre求积公式，并给出余项估计式。解：由于三次Legendre多项式为：第76页,共97页，星期六，2024年，5月其三个零点分别为：令它对准确成立则三点Gauss-Legendre求积公式为：