数学模型和数值分析方法.ppt

1.有限差分法2.有限元法第二部分数值分析方法第1章数学模型与数值分析方法第22页,共36页，星期六，2024年，5月2.1有限差分法2概述1有限差分方法使是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。主要步骤：1）构成差分格式。首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分代替无限微分。2）求解差分方程。精确法，又称直接法，即消元法；近似法，又称间接法，即迭代法。3）对所得的数值解进行精度与收敛性分析和检验。第23页,共36页，星期六，2024年，5月2差分方程的建立22.1有限差分法△y△xxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1.合理选择网格布局及步长将求解区域内连续变化的自变量离散化，形成离散化网格。网格交点称为结点，区域内函数被离散化。将离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长。2.将微分方程转化为差分方程差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三种。差商差商为函数的差分与自变量差分之比。第24页,共36页，星期六，2024年，5月2差分方程的求解方法32.1有限差分法直接法：矩阵法、Gauss消元法、主元素消元法间接法：Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法第25页,共36页，星期六，2024年，5月2.2有限元法有限元法的要点：将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互联结成为组合体。用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的结点值)的代数方程组或常微分方程组。第26页,共36页，星期六，2024年，5月有限元分析的基本思想:把连续的几何结构离散成有限个单元的集合体，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体；同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以致整个集合体上的场函数。运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。2.2有限元法第27页,共36页，星期六，2024年，5月ANSYS有限元分析的典型步骤：1）利用前处理模块，建立有限元模型，包括（1）定义单元类型，（3）定义实常数，（4）定义材料属性，（5）建立几何模型，（6）对几何模型划分网格；2）利用求解模块进行加载和计算；3）利用后处理模块查看结果，对结果图形显示和输出。2.2有限元法第28页,共36页，星期六，2024年，5月2有限元法的基本概念-直接刚度法12.2有限元法通过一个例子来介绍直接刚度法，说明有限元法求解的一般步骤。例：考虑一个变截面杆，如图示。杆的一端固定，另一端承受P=1000N的载荷，杆的顶部宽w1=2cm，杆的底部宽w2=1cm，杆的厚度t=0.125cm，长度L=10cm，杆的弹性模量E=10.4×105MPa。试分析该杆沿长度方向不同位置的变形情况，质量忽略不计。1.前处理过程(1)求解区域离散化将求解的问题分解为结点和单元第29页,共36页，星期六，2024年，5月3.2数学建模软件简介2.2有限元法(2)建立单元位移方程先考虑一截均一长度为l、截面为A的固体单元受外力F的变形情况。以弹簧的变形来模拟固体单元的变形，等价刚度为：keq=AE/l前面问题可近似将杆模型化为不同截面的等截面杆的串联。杆在顶端固定，静态平衡时，可获得如下方程：10000-k1k1+k2-k2000-k2k2+k3-k3000-k3k3+k4-k4000-k4k4u1u2u3u4u50000P=第30页,共36页，星期六，2024年，5月2.2有限元法(3)建立单元刚度方程每个单元有两个结点，每个