定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（四大题型）（学生版）.docx

定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题

目录

题型一：定比点差法

例1．已知椭圆C:+=1（ab0）的离心率为过右焦点F且斜率为k（k0）的直线

与C相交于

与C相交于A，B两点，若AF=3FB，求k

取值范围.例2．已知=1，过点P的直线交椭圆于A，B（可以重合），求

取值范围.

例3．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A，B，P是椭圆上的三个动点，且P--F=λF-，

若λ=2，求μ的值.

变式1．设F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，求点A的

坐标

变式2．已知椭圆+y2=1，设过点P(2,2)的直线l与椭圆C交于A，B，点Q是线段AB上的点，

且，求点Q的轨迹方程.

题型二：齐次化

例4．已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：上POQ=90o.

2

例5．如图，椭圆E:+y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均

异于点A(0,—1)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

2

例6．已知椭圆+y2=1，设直线l不经过点P2(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B

的斜率的和为—1，证明：直线l过定点.

变式3．已知椭圆+y2=1，B(0,1)，P，Q为上的两个不同的动点，kBPkBQ=，求证：直线PQ

过定点.

题型三：极点极线问题

例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程平面上有一点P(x0,y0)．定义直线方程是椭圆Γ在点P(x0,y0)处的极线．已知椭圆方程.

(1)若P(1,y0)在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程；

(2)若P(x0,y0)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；

(3)若过点P(—4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q．证明：Q，X，Y三点共线.

例8．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点P(x0，y0)和直线l：Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，

以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(x0，y0)对应的极线方程.特别地，对于椭圆=1，与点P对应的极线方程为对于双曲线=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为对于抛物线y2=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).

即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；

②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆经过点P(4，0)，离心率是求椭圆C的方程并写出与点P对应的

极线方程；

(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当M--=T-时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.

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例9．（2023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆b＞0）过A，

B（0，1）两点.

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点

Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.