2024年数学高考一轮复习对数运算及对数函数试卷.docxVIP

3.4对数运算及对数函数（精讲）

一．对数的概念

（1）一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)常用对数与自然对数

常用对数

将以10为底的对数叫做常用对数

把log10N记为lgN

自然对数

将以无理数e＝2．71828…为底的对数叫做自然对数

把logeN记为lnN

二．对数的性质与运算性质

(1)对数的运算法则

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．

(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a0且a≠1)．

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；

②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad．

三．对数函数的图象与性质

y＝logax

a1

0a1

图象

定义域

(0，＋∞)

值域

R

性质

过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

当x1时，y0；当0x1时，y0

当x1时，y0；当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

四.反函数

指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

对数运算

1.将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

2.将同底对数的和、差、倍合并．

3.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

二．对数函数的图象

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

三．比较对数值大小的方法

单调性法

在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底

过渡法

寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”

图象法

根据图象观察得出大小关系

四．简单对数不等式

1.解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

2.对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．

3.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

五．盘点易错易混

1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论；

2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想．

考法一对数的运算

【例1-1】（2023·广东潮州）求值：

(1)；

(2)

(3)；

(4).

【答案】(1)(2)6(3)2(4)4

【解析】（1）.

（2）

，

因为，所以.

（3）

.

（4）.

【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，则log3eq\r(7)2eq\r(21)的值为________．

【答案】eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)

【解析】由题意3b＝7，所以log37＝b．

所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\o\al(\s\up1(eq\r(84)),\s\do1(eq\r(63)))＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)．

【一隅三反】

1．（2023广东湛江）计算：

(1)；

(2)

(3)

(4)

(5)．

(6)已知，，求的值．

【答案】(1)(2)(3)3(4)(5)(6)

【解析】（1）；

（2）

．

（3）原式

（4）原式=

（5）

；

（6）..

考法二对数函数的三要素及定点

【例2-1】（1）（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

（2）（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

【答案】（1）D（2）D

【解析】（1）函数有意义，则有，即

解得，所以函数的定义域是.故选：D

（2）有意义满足，即，，

解得，故选：D

【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函数的值域为，则实数的取值范围是

（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是___