2024年数学高考一轮复习构造函数常见方法试卷.docxVIP

4.4构造函数常见方法（精讲）

常见的构造模型

一．只含→加变乘，减变除

1.对于不等式f′(x)＋g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)

2.对于不等式f′(x)－g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)

3.对于不等式f′(x)k(或k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx或F(x)＝f(x)－kx＋b；

4.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)

5.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0(或0)，构造函数(g(x)≠0)．

二．含

1.对于f′(x)＋f(x)0(或0)，构造函数g(x)＝exf(x)

2.对于f′(x)＋nf(x)0(或0)，构造函数g(x)＝enx·f(x)

3.对于f′(x)－f(x)0(或0)，构造函数

4.对于f′(x)－nf(x)0(或0)，构造函数

三．含xf′(x)±f(x)

1.对于xf′(x)＋f(x)0(或0)，则构造函数g(x)＝xf(x)．

2.对于xf′(x)＋nf(x)0(或0)，则构造函数g(x)＝xnf(x)；

3.对于xf′(x)－f(x)0(或0)，则构造函数．

4.对于xf′(x)－nf(x)0(或0)，则构造函数．

四．f(x)±f′(x)tanx

1.对于f′(x)tanx＋f(x)0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；

2.对于f′(x)tanx－f(x)0(或0)，构造函数；

3.对于f′(x)－f(x)tanx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；

4.对于f′(x)＋f(x)tanx0(或0)，构造函数

5.对于f′(x)sinx＋f(x)cosx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；

6.对于f′(x)sinx－f(x)cosx0(或0)，构造函数；

7.对于f′(x)cosx－f(x)sinx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；

8.对于f′(x)cosx＋f(x)sinx0(或0)，构造函数

考法一常见构造函数模型

【例1-1】（2023春·四川凉山）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，

则，即，即，

所以，即的解集为.

故选：D

【例1-2】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，则由，得；

当时，，则由，得．

令，则，

故g（x）在上单调递增，在上单调递减．

又f（x）是奇函数，所以是偶函数，

故，即，，

即．

与和的大小关系不确定．

故选：A．

【一隅三反】

1．（2023春·江苏盐城）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，构造函数，则，

所以函数在R上单调递增，又，即，

所以，即，解得.故选：D.

2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，

故选：.

法二：构造辅助函数.令，则，

所以在上单调递增，

又因为，所以，所以，

故选：D.

3．（2023秋·陕西西安）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，

因为，则，由可得，

即，所以，，解得，

因此，不等式的解集为.

故选：A.

4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，则，

因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

故在上单调递减，

所以，，故A不正确；

所以，即，即，故B不正确；

，即，即，故C正确；

，即，即，故D不正确；故选：C.

考法二结构同构

【例2-1】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）设，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，

令函数，可得，

当，可得，单调递增；

当，可得，单调递减，

所以当，函数取得极大值，即为最大值，

函数的图形，如图所示，

对于函数，当且时，.

设且，

则，可得，所以，所以,

所以.

故选：A.

【例2-2】（2023春·安徽）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，，，

对两边取对数，可得，，，

令，其中，

可得，

令，可得，所以为单调递增函数，

当时，可