2024年数学高考一轮复习平面向量的应用试卷.docx

10.3平面向量的应用（精讲）

考点一夹角

【例1-1】（2023·江苏）若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，

当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，

故选：A

【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，

过作的垂线，垂足为，

因为在上的投影向量为，

所以在上的投影向量为，

又因为，所以，

因为，所以，即的取值范围为．

故选：D.

??

【一隅三反】

1．（2023春·福建厦门）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则.

??

【答案】

【解析】设，，则，

，又，，

所以

.

故答案为：

2．（2023春·湖南怀化）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为

【答案】/

【解析】

由已知得即为向量与的夹角.

因为M、N分别是，边上的中点，

所以，.

又因为，

所以

，

,

,

所以.

故答案为：

3．（2023秋·山东枣庄）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则．

??

【答案】

【解析】因为是的中点，所以，

，

因为，，

，

所以，

所以.

故答案为：.

考点二最值

【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（????）

??

A． B．-1

C． D．2

【答案】A

【解析】由题意，，，

，所以，

所以，即平分，

由可得

，

所以当时，有最小值为.

故选：A

【一隅三反】

1．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为三角形中，，

所以是边长为2的等边三角形，则

以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，

??

则，设，则，

故，

显然当时，取得最小值，

故选：B.

2．（2022春·辽宁大连·）设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，

??

不妨令，因为与的夹角为

所以，所以，

设，则，，

由，所以，

即，即，

即点表示以为圆心，为半径的圆，又

所以；

故选：A

3．（2023秋·河北保定）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（????）

A．0 B． C． D．3

【答案】D

【解析】由，可得，

设，

可得

，所以，

因为，所以，

以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，

设，且，则，，，

当时，.

故选：D.

??

考点三平面向量与四心

【例3-1】（2023春·四川成都）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（????）

A．若，则为的重心

B．若为的内心，则

C．若，，为的外心，则

D．若为的垂心，，则

【答案】ABD

【解析】对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，

由，则，

所以，

所以A，M，D三点共线，且，

设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，

所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，

则有，，，

所以，

即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，

又，，

则有，，，

所以，

，

，

所以，故C错误；

对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，

由为的垂心，，则，

又，则，，

设，，则，，

所以，即，

所以，所以，故D正确；

故选：ABD．

【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）点O在△所在的平面内，则以下说法正确的是（????）

A．已知平面向量满足，且，则△是等边三角形

B．若，则点O为△的重心

C．若，则点O为△的外心；

D．若，则点O为△的垂心

【答案】ACD

【解析】A：由知：是△的外心，若是的中点，则，又，即，故共线且，易知是△的内心，综上△的内外心重合，即△是等边三角形，正确.

B：由且、是在、上的单位向量，即有，故是的平分线，同理是的平分线，所以O为△的内心，错误；

C：若分别为的中点，则，又，即，故，同理，又，即，故，所以为△的外心