数学物理方法格林函数.ppt

2.泊松方程的第一边值问题求解例14.6.2定解问题：根据第一类边值问题的解公式(14.2.14)得到（14.4.5）第29页,共39页，星期六，2024年，5月根据半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式，得到(14.4.6)因为边界上的法线为负y轴，故(14.4.7)将（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解第30页,共39页，星期六，2024年，5月14.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型:第31页,共39页，星期六，2024年，5月例14.4.3在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题【解】构建格林函数满足第32页,共39页，星期六，2024年，5月根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为(14.4.8)即有第33页,共39页，星期六，2024年，5月为了把代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式（14.2.22），需要先计算即为第34页,共39页，星期六，2024年，5月代入（14.2.22）即得到这公式叫作半空间的拉普拉斯积分．（14.4.9）第35页,共39页，星期六，2024年，5月14.4.3圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型【2】：在圆内任找一点放置一个单位第36页,共39页，星期六，2024年，5月根据图14.2，这两线电荷在圆内任一观察点所产生的电势为当观察点位于圆周上时，应该有，即满足第一类齐次边值条件,即为第37页,共39页，星期六，2024年，5月上式应对任何值成立，所以上式对的导数应为零，即即得到要求上式对任意的值要成立，故提供了确定的方程第38页,共39页，星期六，2024年，5月联立解得于是圆形区域的第一类边值问题的格林函数为（14.4.10）即为(14.4.11).其中第39页,共39页，星期六，2024年，5月一、格林公式上具有连续一阶导数,在区域及其边界和中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(12.1.1)将对曲面的积分化为体积分12.1泊松方程的格林函数法第2页,共39页，星期六，2024年，5月以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有上述两式相减得到第3页,共39页，星期六，2024年，5月表示沿边界的外法向偏导数．称为第二格林公式．进一步改写为第4页,共39页，星期六，2024年，5月二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程边值条件是区域边界上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述第5页,共39页，星期六，2024年，5月典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题表示边界面上沿界面外法线方向的偏导数泊松方程第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题第6页,共39页，星期六，2024年，5月2、格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：代表三维空间变量的函数，在直角坐标系中其形式为第7页,共39页，星期六，2024年，5月格林函数的物理意义：在区域T内部处放置一个单位正电荷，而该区域T的界面上为零,那么该点电荷在区域T内r处产生的电势，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数．第8页,共39页，星期六，2024年，5月格林函数互易定理：因为格林函数代表处的点源在处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离的函数,故它应该遵守如下的互易定理：第9页,共39页，星期六，2024年，5月根据格林第二公式令得到第10页,共39页，星期六，2024年，5月根据函数性质有：故有称为泊松方程的基本积分公式．格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到第11页,共39页，星期六，2024年，5月考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：第一类边值问题：相应的格林函数是下列问题的解：考虑到格林函数的齐次边界条件，第一类边值问题的解另一形式的第一类边值问题的解第12页,共39页，星期六，2024年，5月2