初中数学自主招生难度讲义-7年级专题02数的整除性（解析版）.pdfVIP

专题02数的整除性

阅读与思考

设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式成立，那么称能被整除，或称整

abbqabqabb

除，记作|，又称为的约数，而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：

ababaab

1．数的整除性常见特征：

①若整数的个位数是偶数，则2|；

aa

②若整数的个位数是0或5，则5|；

aa

③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；

aaa

④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；

aaa

⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；

aaa

⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．

aa

2．整除的基本性质

设，，都是整数，有：

abc

①若|，|，则|；

abbcac

②若|，|，则|(±)；

cacbcab

③若|，|，则[，]|；

bacabca

④若|，|，且与互质，则|；

bacabcbca

⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．

abcacabpbcpbpc

例题与求解

【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而

且不能被5整除．

(“五羊杯”竞赛试题)

解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

nn

【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：

abab

①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；

ababab

②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中()

ababab

A．只有①正确B．只有②正确

C．①，②都正确D．①，②都不正确

(江苏省竞赛试题)

解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

13ab456a

【例3】已知整数能被198整除，求，的值．

b