初中数学自主招生难度讲义-7年级专题18 简单的不定方程、方程组.pdfVIP

专题18简单的不定方程、方程组

阅读与思考

如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的

方程(组)称为不定方程(组)．

对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一

确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：

1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；

2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．

二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数

解．

解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、

因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并

灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．

例题与求解

2222

mnmn

【例1】满足1998m1997n(0＜＜＜1998)的整数对(，)共有_______对．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．

【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的

比票价为10元的多()．

A．20张B．15张C．10张D．5张

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为，，张．根据题意列方程组，整体求

xyz

出的－值．

zx

【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前

三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家中的电话号码．

(湖北省武汉市竞赛试题)

解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．

【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一

粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?

(重庆市竞赛试题)

解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．

【例5】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每

人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?

(海峡两岸友谊赛试题)

解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．

【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开

走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．

问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

解题思路：设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，根据题意列出方程求解，注意

xk

排除不符合题设条件的解．

能力训练

A级

225

1．若，则＝__________．

a4ba4b0ab

4