2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷.doc

第PAGE1页（共2页）

2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷

一、填空题。

1．（3分）＝．

2．（3分）方程在的正解为．

3．（3分）等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，则△ABC的腰长为．

4．（3分）已知实数m，n满足20m2+24m+1＝0，n2+24n+20＝0且mn≠1，则＝．

5．（3分）若x为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3与y＝2x2﹣4x+3的交点有个．

6．（3分）若abc≠0，，则＝．

7．（3分）K为△ABC内一点，过点K作三边的垂线KM，KN，KP，若AM＝3，BM＝5，BN＝4，CN＝2，CP＝4，则AP2＝．

8．（3分）已知a，b，c，令a，b，c的最小值为min{a，b，c}，已知f（x）＝min{4x+1，x+2，﹣2x+4}，若f（x）的最大值为M，则6M＝．

9．（3分）已知正方形OBAC，以OB为半径作圆，过A的直线交⊙O于M，Q，交BC与P，R为PQ中点，若AP＝18，PR＝7，则BC＝．

10．（3分）若a，b，c，d，e为两两不同的整数，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的最小值为．

11．（3分）PA，PB分别为⊙O1和⊙O2的切线，连接AB交⊙O1于C交⊙O2于D，且AC＝BD，已知⊙O1和⊙O2的半径分别为20和24，则＝．

12．（3分）已知a，b，c正整数，且只要则，设m的最小值为（为最简分数），则r+s＝．

13．（3分）对于任意实数x，y，定义运算符号*，且x*y有唯一解，满足（a*b）+c＝（a*c）+（b*c），0*（a+b）＝（0*a）+（0*b），则20*24＝．

14．（3分）已知正整数A，B，C且A＞B＞C，满足++＝879897，则＝．

15．（3分）等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为．

2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题。

1．（3分）＝54．

【分析】利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝

＝54，

故答案为：54．

【点评】本题考查了有理数的混合运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

2．（3分）方程在的正解为x＝5．

【分析】根据解无理方程的步骤求解即可．

【解答】解：首先，考虑方程的两边统一分母．

给定的方程是：，

通过通分，我们可以将左边的两个分数合并为一个分数：，

展开并化简分母和分子：

分母：＝x2﹣（32﹣x2）＝2x2﹣32，

分子：，

于是原方程简化为：，

进一步简化得到：18x＝x（2x2﹣32），

移项并除以x（假设x≠0），

得：18＝2x2﹣32，

解这个二次方程得到x的值：2x2＝50，

x2＝25x＝±5，

方程的正解为x＝5．

故答案为：x＝5．

【点评】本题考查无理方程，解题的关键是掌握无理方程的解题方法．

3．（3分）等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，则△ABC的腰长为25．

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，

∴CD＝＝＝18，

∵AB2＝AD2+BD2，

∴AB2＝（AB﹣18）2+242，

∴AB＝25，

故答案为：25．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

4．（3分）已知实数m，n满足20m2+24m+1＝0，n2+24n+20＝0且mn≠1，则＝50．

【分析】由两个方程的形式可知，m，是方程20x2+24x+1＝0的两个根，根据根与系数的关系得到mn+1与n的数量关系并代入计算即可．

【解答】解：由题意可知，m，是方程20x2+24x+1＝0的两个根，

∴m+＝﹣＝﹣，即＝﹣，

∴1+mn＝﹣n，

∴||＝||＝50．

故答案为：50．

【点评】本题考查考查根与系数的关系、绝对值，确定m，是方程20x2+24x+1＝0的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．

5．（3分）若x为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3与y＝2x2﹣4x+3的交点有2个．

【分析】根据二次函数的性质，分x≥0和x＜0两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x的值，确定交点个数即可．

【解答】解：方法①：∵y＝x2﹣2|x|+3，

∴当x≥0时，y＝x2﹣2x+3，

联立方程组，

∴x