2025年中考数学几何辅助线解题方法 第7招 对角若互补，四点可构圆（含解析）.docxVIP

2025年

第7招对角若互补，四点可构圆

在题目给出的条件中，涉及的四边形有对角互补，或两个同底的三角形且在底边的同侧有相等的“顶角”的信息时，往往要主动联想到该四点有一个公共的外接圆——辅助圆.这是因为“圆内接四边形的对角互补”是我们常用的圆周角定理的一个推论，且它的逆命题亦真.因此，对于含有对角互补的四边形的几何题，一旦作出了它的外接圆(即辅助圆)，我们就可合理地利用圆的性质，圆周角定理及其推论来分析问题、解决问题，从而促进解题的创新性与开放性.此招辅助线我们可将它表述为：

对角若互补，四点可构圆.

有时我们也将此辅助线说成：同侧视角等，四点可构圆.

例1已知P是□ABCD内一点,且∠1=∠2,如图7-1所示.求证:∠3=∠4.

解析证法1将AD向下平移至PQ，连接CQ，如图7-2所示，则四边形APQD，四边形PBCQ均为平行四边形.

由此可得△CQD≌△BPA,∴∠1=∠5.

又∠1=∠2,∠2=∠6,则∠5=∠6.

∴P，C，Q，D四点共圆.(同侧视角等，四点可构圆)

由此可得∠7=∠8.(同弧所对的圆周角相等)

又∠3=∠7,∠8=∠4,∴∠3=∠4.

证法2过点P作AB,CD的垂线,垂足分别为E,G.

作FH⊥AD,交AD,BC于点H,F,如图7-3所示.

则A,E,P,H四点共圆,B,E,P,F四点共圆,

C,F,P,G四点共圆,G,P,H,D四点共圆.

(对角若互补，四点可构圆)

∴∠1=∠5,∠2=∠7.

(同弧所对的圆周角相等)

又∠1=∠2,∴∠5=∠7.

故E,F,G,H四点共圆.∴∠6=∠8.

(同侧视角等，四点可构圆)

又∠6=∠3,∠8=∠4,

∴∠3=∠4.

点评将题设的四个角集结到一个易于联络的图形中进行研究是常见的基本策略，如证法1、证法2.不难发现，若从相似形的角度来集结四角,也可以过点P作EF∥AD,交AB,CD于点E,F,可得△AEP∽△PFC.由图形的类比推出△BEP∽△PFD,亦可获得解决，读者不妨试试.

例2如图7-4所示，△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.以AB为直径的⊙O交AC于点E,D是BC的中点,连接OD交⊙O于点M.

(1)求证:O,B,D,E四点共圆.

(2)求证:2DE2=DM·AC+DM·AB.

解析(1)连接BE,OE,如图7-5所示.

∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,则BE⊥EC.

又D是BC的中点,

所以ED为Rt△BEC的中线,则DE=BD.

又OE=OB,OD=OD,

∴△ODE≌△ODB.

由此可得∠OBD=∠OED=90°.

因此,O,B,D,E四点共圆.

(对角若互补，四点可构圆)

(2)延长DO交圆于点H,如图7-6所示.

∵ED⊥OE,OE是半径,

∴DE为⊙O的切线.(*)

连接EH，EM，(引线造角望相似)

则有∠OED=90°=∠HEM.

∴∠OHE=∠OEH=90°?∠OEM=∠MED.

∴△MED∽△EHD.则有DE

∴DE2=DM·DH=DM·(DO+OH)

=DM·DO+DM·OH.(**)

∵OH=1

∴OD=

∴D

∴2DE2=DM·AC+DM·AB.

点评本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定，直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识.第(1)问，先证△ODE≌△ODB,进而挖掘∠OBD=∠OED=90°,是解题的基本思路.第(2)问，充分利用切线挖掘△MED∽△EHD，并结合三角形的中位线分析，颇有创意.当然，若对切割线定理较熟悉时，在(*)处可直接由切割线定理推得(**).另外，四点共圆的证明是中考常考题型，常见的证明方法有：①定义法：到定点距离相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等.

例3如图7-7所示,在△ACB中,已知∠CAB=90°,M为BC的中点,点P在BC的延长线上,AP⊥AM,点E在PA延长线上,AD⊥PB,垂足为D,BE⊥PA,垂足为E,求证:

(1)PA·PD=PE·PC.

(2)AD=AE.

解析(1)证法1∵AD⊥PB,BE⊥PA,

∴∠ADB=∠AEB=90°.

∴A，D，B，E四点共圆，如图7-8所示.(对角若互补，四点可构圆)

∴∠EBP=∠DAP.

由此可得PADPBE.∴

∴PA·PE=PD·PB.①

∵AP⊥AM,∴∠CAP+∠CAM=90°.

又∠BAM+∠CAM=∠CAB=90°,

∴∠CAP=∠BAM.

又AM是Rt△ACB斜边BC的中线,

∴∠ABC